Question

11．如圖，等腰△ABC中，底邊BC=a，∠A=36°，∠ABC的平分線交AC于D，∠BCD的平分線交BD于E，設(shè)k=$\frac{\sqrt{5}+1}{2}$，則DE=（　　）

• A． k²a
• B． k³a
• C． $\frac{a}{{k}^{2}}$
• D． $\frac{a}{{k}^{3}}$

Answer 1

分析 由題意可知∠DCE=∠DBC=∠ECB=36°，∠CDE=∠CED=∠BCD=72°，推出BE=CE=CD，設(shè)DE=x，BC=BD=a，推出△DCE∽△DBC，可得$\frac{DC}{DB}$=$\frac{DE}{DC}$，推出$\frac{a-x}{a}$=$\frac{x}{a-x}$，即x²+ax-a²=0，可得x=$\frac{3a-\sqrt{5}a}{2}$或$\frac{3a+\sqrt{5}a}{2}$（舍棄），即DE=$\frac{3-\sqrt{5}}{2}$a，由此即可解決問題．

解答 解：由題意可知∠DCE=∠DBC=∠ECB=36°，∠CDE=∠CED=∠BCD=72°
∴BE=CE=CD，設(shè)DE=x，BC=BD=a，
∴△DCE∽△DBC，
∴$\frac{DC}{DB}$=$\frac{DE}{DC}$，
∴$\frac{a-x}{a}$=$\frac{x}{a-x}$，
∴x²+ax-a²=0，
∴x=$\frac{3a-\sqrt{5}a}{2}$或$\frac{3a+\sqrt{5}a}{2}$（舍棄），
∴DE=$\frac{3-\sqrt{5}}{2}$a，
∵k=$\frac{\sqrt{5}+1}{2}$，
∴$\frac{1}{{k}^{2}}$=$\frac{3-\sqrt{5}}{2}$，
∴DE=$\frac{a}{{k}^{2}}$，
故選C．

點(diǎn)評 本題考查黃金分割、等腰三角形的性質(zhì)和判定、相似三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會利用參數(shù)構(gòu)建一元二次方程解決問題，屬于中考選擇題中的壓軸題．