Question

6．如圖，在?ABCD中，以點A為圓心，AB的長為半徑的圓恰好與CD相切于點C，交AD于點E，延長BA與⊙O相交于點F．若$\widehat{EF}$的長為$\frac{π}{2}$，則圖中陰影部分的面積為2-$\frac{π}{2}$．

Answer 1

分析 連結(jié)AC，如圖，設(shè)半徑為r，先根據(jù)切線的性質(zhì)得∠ACD=90°，再根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得AB∥CD，AD∥BC，則∠CAF=90°，∠1=∠B，∠2=∠3，利用∠B=∠3易得∠1=∠2=45°，則根據(jù)弧長公式可得$\frac{45•π•r}{180}$=$\frac{π}{2}$，解得r=2，然后根據(jù)扇形面積公式，利用S_陰影部分=S_△ACD-S_扇形CAE進(jìn)行計算即可．

解答 解：連結(jié)AC，如圖，設(shè)半徑為r，
∵AB的長為半徑的圓恰好與CD相切于點C，
∴AC⊥CD，
∴∠ACD=90°，
∵四邊形ABCD為平行四邊形，
∴AB∥CD，AD∥BC，
∴∠CAF=90°，∠1=∠B，∠2=∠3，
而AB=AC，
∴∠B=∠3，
∴∠1=∠2=45°，
∵$\widehat{EF}$的長為$\frac{π}{2}$，
∴$\frac{45•π•r}{180}$=$\frac{π}{2}$，解得r=2，
在Rt△ACD中，∵∠2=45°，
∴AC=CD=2，
∴S_陰影部分=S_△ACD-S_扇形CAE$\frac{1}{2}$×2×2-$\frac{45•π•{2}^{2}}{360}$=2-$\frac{π}{2}$．
故答案為2-$\frac{π}{2}$．

點評 本題考查了切線的性質(zhì)：圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑．也考查了平行四邊形的性質(zhì)和扇形的面積公式．