Question

5．已知平面直角坐標系xOy，拋物線y=$\frac{1}{2}$x²+bx+c經(jīng)過點A（-3，0）、C（0，-$\frac{3}{2}$）．
（1）求該拋物線頂點P的坐標；
（2）過C作AC的垂線，求此垂線的函數(shù)關系式；
（3）在拋物線求點Q，使∠QAC=∠PAC．

Answer 1

分析 （1）將已知點的坐標代入到給定的函數(shù)的解析式中求解即可；
（2）首先求得直線AC的函數(shù)解析式，而此垂線的函數(shù)關系式的系數(shù)k與AC解析式的系數(shù)k互為負倒數(shù)，得出C，再進一步求得解析式即可；
（3）求得直線AP與AC的垂線的交點，進一步利用三線合一求得過AQ的直線，與二次函數(shù)聯(lián)立方程求得答案即可．

解答 解：（1）將A（-3，0）、C（0，-$\frac{3}{2}$）．代入y=$\frac{1}{2}$x²+bx+c得
$\left\{\begin{array}{l}{\frac{9}{2}-3b+c=0}\\{c=-\frac{3}{2}}\end{array}\right.$
 解得$\left\{\begin{array}{l}{b=1}\\{c=-\frac{3}{2}}\end{array}\right.$
所以拋物線的表達式為y=$\frac{1}{2}$x²+x-$\frac{3}{2}$．
其頂點P的坐標為（-1，-2）．
（2）設經(jīng)過點A（-3，0）、C（0，-$\frac{3}{2}$）的直線y_AC=kx+b，
代入點解得y_AC=-$\frac{1}{2}$x-$\frac{3}{2}$，
設過C作AC的垂線的函數(shù)解析式為y=2x+b，代入點過C（0，-$\frac{3}{2}$），
解得y=2x-$\frac{3}{2}$．
（3）如圖，

經(jīng)過點A（-3，0）、P（-1，-2）的直線y_AP=-x-3，
與直線y=2x-$\frac{3}{2}$交于點M（-$\frac{1}{2}$，-$\frac{5}{2}$），
∵∠QAC=∠PAC，AC⊥MN，
∴MC=NC，
∴點N的坐標為（$\frac{1}{2}$，-$\frac{1}{2}$），
∴經(jīng)過點A（-3，0）、N（$\frac{1}{2}$，-$\frac{1}{2}$）的直線y_AN=-$\frac{1}{7}$x-$\frac{3}{7}$，
∵拋物線y=$\frac{1}{2}$x²+x-$\frac{3}{2}$與直線y_AN=-$\frac{1}{7}$x-$\frac{3}{7}$交于點Q，
∴$\frac{1}{2}$x²+x-$\frac{3}{2}$=-$\frac{1}{7}$x-$\frac{3}{7}$，
解得x=$\frac{5}{7}$，x=-3（不合題意，舍去）
∴y=-$\frac{26}{49}$
∴點Q為（$\frac{5}{7}$，-$\frac{26}{49}$）．

點評 此題主要考查了二次函數(shù)的綜合題目，利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析與一次函數(shù)解析式，等腰三角形的判定與性質(zhì)（三線合一），結(jié)合圖形靈活運用數(shù)形結(jié)合解決問題．