Question

20．如圖，P為邊長為4的正方形ABCD的對角線AC上動點（不與A、C重合），過P作直線m、n，分別與AD、AB平行，與正方形各邊分別交于E、F、G、H，在以下判斷中，不正確的是（　�。�

• A． P點變化時，四邊形EFGH面積保持不變
• B． P點變化時，六邊形DEFBGH面積有最大值12$\sqrt{2}$
• C． 點P位于正方形ABCD的中心時，DE=2
• D． P點變化時，六邊形DEFBGH周長保持不變

Answer 1

分析 利用排除法證明A、C、D正確即可判斷．

解答 解：A、正確．P點變化時，四邊形EFGH面積保持不變．
理由：S_{四邊形EFGH}=S_△PEH+S_△PEF+S_△PFG+S_△PHG
=$\frac{1}{2}$S_矩形DEPH+$\frac{1}{2}$S_矩形AFPE+$\frac{1}{2}$S_矩形BFPG+$\frac{1}{2}$S_矩形PGCH
=$\frac{1}{2}$S_{正方形ABCD}．
C、正確．點P位于正方形ABCD的中心時，DE=2．
D、正確．設AP=x，則PC=4$\sqrt{2}$-x，
則六邊形DEFBGH周長=x+4$\sqrt{2}$-x+2•（4-$\frac{\sqrt{2}}{2}$x）+2•$\frac{\sqrt{2}}{2}$x=8+4$\sqrt{2}$=定值．
故選項B錯誤，
故選B．

點評 本題考查正方形的性質、平行線的性質、矩形的性質、四邊形的面積等知識，解題的關鍵是靈活運用所學知識解決問題，學會用排除法解決問題，屬于中考選擇題中的壓軸題．