Question

8．設二次函數y=（m-1）x²+（m-2）x-1，記其圖象為C．
（1）若圖象C與x軸有兩個公共點，求實數m的取值范圍；
（2）求證：圖象C恒過x軸上的定點，并求該定點的坐標；
（3）若圖象C上所有點均在直線y=mx+1的下方，求實數m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由二次函數的定義可知m-1≠0，然后再根據△＞0列不等式求解即可；
（2）將（m-1）x²+（m-2）x-1分解分式，從而可判斷C橫過點（-1，0）；
（3）根據題意可知m-1＜0，且方程y=mx+1與方程y=（m-1）x²+（m-2）x-1無公共點．

解答 解：（1）由二次函數的定義可知m-1≠0，
∴m≠1．
∵圖象C與x軸有兩個公共點，
∴方程（m-1）x²+（m-2）x-1=0有兩個不相等的實數根．
∴（m-2）²+4（m-1）＞0．
解得：m≠0．
∴m的取值范圍是m≠0且m≠1．
（2）令y=0得：（m-1）x²+（m-2）x-1=0
∴[（m-1）x-1]（x+1）=0．
∴當x=-1，y=0．
∴無論m取何值函數圖象橫過點（-1，0）．
（3）根據題意可知：m-1＜0，且y=mx+1與y=（m-1）x²+（m-2）x-1無公共點．
由m-1＜0得m＜1．
由方程y=mx+與1y=（m-1）x²+（m-2）x-1無公共點可知：方程（m-1）x²+（m-2）x-1-mx-1=0無解．
整理得：（m-1）x²-2x-2=0．
∴4+8（m-1）＜0．
解得：m＜$\frac{1}{2}$．
∴m的取值范圍是m$＜\frac{1}{2}$．

點評 本題主要考查的二次函數與x軸的交點問題，將函數問題轉化為方程、不等式問題是解題的關鍵．