Question

7．如圖，菱形ABCD中，BP=CP，MN∥AB，求證：
（1）$\frac{AM}{MC}$=$\frac{AB}{DQ}$；
（2）PA²=PM•PC；
（3）AB²=BP•BN；
（4）$\frac{AB}{AN}$=$\frac{PB}{PN}$．

Answer 1

分析 （1）先根據(jù)菱形的定義得：AB∥CD，再根據(jù)MN∥AB得：MN∥AB∥CD，可知△ANM∽△ADC，△ABN∽△QDN，然后根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得證；
（2）根據(jù)平行證明△ABP∽△MNP，列比例式后，再證明PA=PN即可得出；
（3）先根據(jù)菱形的性質(zhì)：菱形的一條對角線平分一組對角得：∠BAC=∠PAN，從而證明△ABP∽△NBA，列比例式可得結(jié)論；
（4）根據(jù)角平分線的性質(zhì)得比例式即可．

解答 解：（1）∵四邊形ABCD是菱形，
∴AB∥CD，
∵MN∥AB，
∴MN∥AB∥CD，
∴△ANM∽△ADC，△ABN∽△DQN，
∴$\frac{AM}{MC}=\frac{AN}{ND}$，$\frac{AN}{ND}=\frac{AB}{QD}$，
∴$\frac{AM}{MC}$=$\frac{AB}{QD}$，
（2）∵MN∥AB，
∴△ABP∽△MNP，
∴$\frac{PA}{PM}=\frac{PB}{PN}$，
∵PB=PC，
∴∠PBC=∠PCB，
∵AD∥BC，
∴∠PBC=∠PNA，∠PCB=∠PAN，
∴∠PNA=∠PAN，
∴PA=PN，
∴$\frac{PA}{PM}=\frac{PC}{PA}$，
∴PA²=PM•PC；
（3）∵四邊形ABCD是菱形，
∴∠BAC=∠PAN，
∵∠PAN=∠PNA，
∴∠BAC=∠PNA，
∵∠ABP=∠ABP，
∴△ABP∽△NBA，
∴$\frac{AB}{BP}=\frac{BN}{AB}$，
∴AB²=BP•BN；
（4）∵∠BAC=∠PAN，
∴$\frac{AB}{AN}$=$\frac{PB}{PN}$．

點評 本題考查了菱形的性質(zhì)、相似三角形的性質(zhì)和判定、角平分線的性質(zhì)；能利用平行證明相應(yīng)的三角形相似是關(guān)鍵，并熟練掌握利用乘積式化為比例式確定證明哪兩個三角形．