Question

9．如圖，⊙O的直徑為1，A是半圓上的一點，且∠AON=60°，∠AOB的平分線OB與⊙O相交于點B，點P是直徑MN上一動點，求PA+PB的最小值．

Answer 1

分析 找點A或點B關(guān)于MN的對稱點，再連接其中一點的對稱點和另一點，和MN的交點P就是所求作的位置．根據(jù)題意先求出∠CAE，再根據(jù)勾股定理求出AE，即可得出PA+PB的最小值．

解答 解：作點B關(guān)于MN的對稱點E，連接AE交MN于點P，此時PA+PB最小，且等于AE．作直徑AC，連接CE，OE，
∴∠AON=60°，∠NOE=$\frac{1}{2}$∠AON=30°，
∴∠AOE=90°，
∴∠CAE=45°，
又∵AC為圓的直徑，
∴∠AEC=90°，
∴∠C=∠CAE=45°，
∴CE=AE=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AC=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
即AP+BP的最小值是$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

點評 本題考查了垂徑定理及勾股定理的知識，此題的難點是確定點P的位置：找點B關(guān)于MN的對稱點，再連接其中一點的對稱點和另一點，和AE于MN的交點P就是所求作的位置．再根據(jù)弧的度數(shù)和圓心角的度數(shù)求出∠CAE，根據(jù)勾股定理求出AE即可．