Question

2．如圖，有一塊三角形余料ABC，∠B=90°，BC=3m，AB=4m，現(xiàn)有兩種余料的再利用方案，分別制作正方形和圓形桌面．
方案一，如圖1，作正方形DEFG使它的四個頂點都在△ABC邊上；
方案二，如圖2，作△ABC的內(nèi)切圓O，它與三邊分別相切與點G、H、I．
請通過計算，比較哪種方案的利用率高．

Answer 1

分析 設(shè)DE=x，再由相似三角形的性質(zhì)得出x的長，進而可得出正方形DBFE的面積；先根據(jù)勾股定理求出AC的長，再連接OA，OB，OC，OG，OI，OH由三角形的面積公式得出⊙O的半徑，求出圓的面積，進而可得出結(jié)論．

解答 解：設(shè)DE=x，則AD=4-x，
∵DE⊥AB，
∴△ADE∽△ABC，
∴$\frac{AD}{AB}$=$\frac{DE}{BC}$，即$\frac{4-x}{4}$=$\frac{x}{3}$，解得x=$\frac{12}{7}$，
∴S_正方形=（$\frac{12}{7}$）²=$\frac{144}{49}$；
∵△ABC中，∠B=90°，BC=3m，AB=4m，
∴AC=$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}$=5m．
∵點O是△ABC的內(nèi)心，
∴OI=OG=OH=r，
∴$\frac{1}{2}$（AB+BC+AC）•r=$\frac{1}{2}$AB•BC，即（4+3+5）r=4×3，解得r=1，
∴S_⊙O=π．
∵$\frac{144}{49}$＜π，
∴方案二利用率高．

點評 本題考查的是三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心，熟知三角形的內(nèi)心就是三角形三個內(nèi)角角平分線的交點是解答此題的關(guān)鍵．