Question

17．已知，在平行四邊形ABCD中，E為AD上一點，且AB=AE，連接BE交AC于點H，過點A作AF⊥BC于F，交BE于點G．
（1）若∠D=50°，求∠EBC的度數(shù)；
（2）若AC⊥CD，過點G作GM∥BC交AC于點M，求證：AH=MC．

Answer 1

分析 （1）根據等邊對等角以及平行線的性質，即可得到∠1=∠2=$\frac{1}{2}$∠ABC，再根據平行四邊形ABCD中，∠D=50°=∠ABC，可得出∠EBC的度數(shù)；
（2）過M作MN⊥BC于N，過G作GP⊥AB于P，則∠CNM=∠APG=90°，先根據AAS判定△BPG≌△BFG，得到PG=GF，根據矩形GFNM中GF=MN，即可得出PG=NM，進而判定△PAG≌△NCM（AAS），可得AG=CM，再根據等角對等邊得到AH=AG，即可得到結論．

解答 解：（1）∵AB=AE，
∴∠1=∠3，
∵AE∥BC，
∴∠2=∠3，
∴∠1=∠2=$\frac{1}{2}$∠ABC，
又∵平行四邊形ABCD中，∠D=50°，
∴∠ABC=50°，
∴∠EBC=25°；

（2）證明：如圖，過M作MN⊥BC于N，過G作GP⊥AB于P，則∠CNM=∠APG=90°，
由（1）可得，∠1=∠2，
∵AF⊥BC，
∴∠BPG=∠BFG=90°，
在△BPG和△BFG中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠CNM=∠APG}\\{∠1=∠2}\\{BG=BG}\end{array}\right.$，
∴△BPG≌△BFG（AAS），
∴PG=GF，
又∵矩形GFNM中，GF=MN，
∴PG=NM，
∵AC⊥CD，CD∥AB，
∴∠BAC=90°=∠AFB，
即∠PAG+∠ABF=∠NCM+∠ABC=90°，
∴∠PAG=∠NCM，
在△PAG和△NCM中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠PAG=∠NCM}\\{∠CNM=∠APG}\\{PG=NM}\end{array}\right.$，
∴△PAG≌△NCM（AAS），
∴AG=CM，
∵∠1=∠2，∠BAH=∠BFG，
∴∠AHG=∠FGB=∠AGH，
∴AG=AH，
∴AH=CM．

點評 本題主要考查了平行四邊形的性質，全等三角形的判定與性質以及等腰三角形的性質的綜合應用，解決問題的關鍵是作輔助線構造全等三角形，依據全等三角形的對應邊相等進行推理．