Question

19．如圖所示，有一座拱橋圓弧形，它的跨度AB為60米，拱高PM為18米，當洪水泛濫到跨度只有30米時，就要采取緊急措施，若拱頂離水面只有4米，即PN=4米時，是否采取緊急措施？（$\sqrt{2}$=1.414）

Answer 1

分析 由垂徑定理可知AM=BM、A′N=B′N，利用AB=60，PM=18，可先求得圓弧所在圓的半徑，再計算當PN=4時A′B′的長度，與30米進行比較大小即可．

解答 解：
設圓弧所在圓的圓心為O，連接OA、OA′，設半徑為x米，
則OA=OA′=OP′，
由垂徑定理可知AM=BM，A′N=B′N，
∵AB=60米，
∴AM=30米，且OM=OP-PM=（x-18）米，
在Rt△AOM中，由勾股定理可得AO²=OM²+AM²，
即x²=（x-18）²+30²，解得x=34，
∴ON=OP-PN=34-4=30（米），
在Rt△A′ON中，由勾股定理可得A′N=$\sqrt{O{A}^{′2}-O{N}^{2}}$=$\sqrt{3{4}^{2}-3{0}^{2}}$=16（米），
∴A′B′=32米＞30米，
∴不需要采取緊急措施．

點評 本題主要考查垂徑定理的應用，利用勾股定理求得圓弧所在的半徑是解題的關鍵，注意方程思想的應用．