Question

5．認(rèn)真閱讀下面的材料，完成有關(guān)問題．
材料：在學(xué)習(xí)絕對值時，老師教過我們絕對值的幾何含義，如|5-3|表示5、3在數(shù)軸上對應(yīng)的兩點之間的距離；|5+3|=|5-（-3）|，所以|5+3|表示5、-3在數(shù)軸上對應(yīng)的兩點之間的距離；|5|=|5-0|，所以|5|表示5在數(shù)軸上對應(yīng)的點到原點的距離．一般地，點A、B在數(shù)軸上分別表示有理數(shù)a、b，那么A、B之間的距離可表示為|a-b|．
問題（1）：點A、B、C在數(shù)軸上分別表示有理數(shù)x、-2、1，那么A到B的距離與A到C的距離之和可表示為|x+2|+|x-1|（用含絕對值的式子表示）．
問題（2）：利用數(shù)軸探究：①找出滿足|x-3|+|x+1|=6的x的所有值是-2，4，②設(shè)|x-3|+|x+1|=p，當(dāng)x的值取在不小于-1且不大于3的范圍時，p的值是不變的，而且是p的最小值，這個最小值是4；當(dāng)x的值取在不小于0且不大于2的范圍時，|x|+|x-2|的最小值是2．
問題（3）：求|x-3|+|x-2|+|x+1|的最小值以及此時x的值．
問題（4）：若|x-3|+|x-2|+|x|+|x+1|≥a對任意的實數(shù)x都成立，求a的取值．

Answer 1

分析 問題（1）根據(jù)兩點間的距離公式，可得答案；
問題（2）根據(jù)兩點間的距離公式，點在線段上，可得最小值；
問題（3）：|x-3|+|x-2|+|x+1|=（|x-3|+|x+1|）+|x-2|，根據(jù)問題（2）中的探究②可知，要使|x-3|+|x+1|的值最小，x的值只要取-1到3之間（包括-1、3）的任意一個數(shù)，要使|x-2|的值最小，x應(yīng)取2，顯然當(dāng)x=2時能同時滿足要求，把x=2代入原式計算即可；
問題（4）根據(jù)兩點間的距離公式，點在線段上，可得答案．

解答 解：問題（1）A到B的距離與A到C的距離之和可表示為|x+2|+|x-1|；
問題（2）①-2、4，
②4；不小于0且不大于2，2；
問題（3）由分析可知，
當(dāng)x=2時能同時滿足要求，把x=2代入原式=1+0+3=4；
問題（4）|x-3|+|x-2|+|x|+|x+1|=（|x-3|+|x+1|）+（|x-2|+|x|）
要使|x-3|+|x+1|的值最小，x的值取-1到3之間（包括-1、3）的任意一個數(shù)，要使|x-2|+|x1|的值最小，x取0到2之間（包括0、2）的任意一個數(shù)，顯然當(dāng)x取0到2之間（包括0、2）的任意一個數(shù)能同時滿足要求，不妨取x=0代入原式，得|x-3|+|x-2|+|x|+|x+1|=3+2+0+1=6   
方法二：當(dāng)x取在0到2之間（包括0、2）時，|x-3|+|x-2|+|x|+|x+1|=-（x-3）-（x-2）+x+（x+1）
=-x+3-x+2+x+x+1=6．
故答案為：|x+2|+|x-1|；-2，4；4；不小于0且不大于2；2．

點評 本題考查了絕對值，讀懂題目信息，理解絕對值的幾何意義是解題的關(guān)鍵．