Question

7．如圖甲，正方形ABDC中，連接BC，點(diǎn)M是AB延長(zhǎng)線上一點(diǎn)．直角三角尺的一條直角邊經(jīng)過點(diǎn)C，且直角頂點(diǎn)放在點(diǎn)E處，點(diǎn)E在AB邊上滑動(dòng)（點(diǎn)E不與點(diǎn)A，B重合），另一條直角邊與∠CBM的平分線相交于點(diǎn)F．
（1）在AC上取一點(diǎn)N，使AN=AE，求∠CNE的度數(shù)；
（2）求證：CE=EF．
（3）如圖乙，當(dāng)點(diǎn)E是AB邊延長(zhǎng)線上的任意位置時(shí)，（2）中的結(jié)論還成立嗎？如果不成立請(qǐng)寫出正確的結(jié)論；如果成立請(qǐng)說明理由．
（4）“正方形ABCD”換成△ABC是等邊三角形，將一個(gè)有60度角的三角尺的放在點(diǎn)E處，如圖丙（∠CEF=60°），其他條件不變，請(qǐng)直接判斷△CEF的形狀（不要求證明）．

Answer 1

分析 （1）由正方形的性質(zhì)和鄰補(bǔ)角的性質(zhì)得到∠CNE=135°；
（2）根據(jù)圖形可以得到DE=EF，NE=BF，要證明這兩個(gè)關(guān)系，只要證明△DNE≌△EBF即可；
（3）延長(zhǎng)AC到N使AN=AE，連接EN，證出△DNE≌△EBF即可得出答案．
（4）連接NE，在DA邊上截取DN=EB，證出△DNE≌△EBF即可得出答案．

解答 解：（1）在正方形ABCD中，
∵∠A=90°，
∵AN=AE，
∴∠ANE=45°，
∴∠CNE=135°．
（2）∵BF平分∠DBM，
∴∠EBF=135°，
∴∠CNE=∠EBF，
∵AC=AB，AN=AE，
∴CN=BE，
∵∠FEB+∠AEC=∠ACE+∠AEC=90°，
∴∠ACE=∠FEB，
在△CNE與△FBE中，

，
∴△CNE≌△FBE（ASA），
∴CE=EF；
（3）如圖1，延長(zhǎng)AC到N使AN=AE，連接EN，∵AC=AB，
∴CN=BE，
∴∠N=∠FBE=45°，∠NCE=∠BEF=135°-∠BCE，在△NCE與△BEF中，

，
∴△NCE≌△BEF（ASA），
∴CE=EF；
（4）如圖2，在AC上截取AN=AE，
∵△ABC是等邊三角形，
∴∠A=∠ABC=60°，
∴∠ANE=∠AEN=60°，
解：（1）在正方形ABCD中，∵∠A=90°，
∵AN=AE，
∴∠ANE=45°，
∴∠CNE=135°．

（2）∵BF平分∠DBM，
∴∠EBF=135°，
∴∠CNE=∠EBF，
∵AC=AB，AN=AE，
∴CN=BE，
∵∠FEB+∠AEC=∠ACE+∠AEC=90°，
∴∠ACE=∠FEB，
在△CNE與△FBE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ACE=∠FEB}\\{CN=BE}\\{∠CNE=∠EBF}\end{array}\right.$，
∴△CNE≌△FBE（ASA），
∴CE=EF；

（3）如圖1，延長(zhǎng)AC到N使AN=AE，連接EN，
∵AC=AB，
∴CN=BE，
∴∠N=45°，∠NCE=∠BEF=135°-∠BCE，
在△NCE與△BEF中，
∠NCE=∠BEF，CN=BE，
而BF平分∠CBM，
∴∠FBM=67.5°，
∴∠N≠∠FBE，
∴△NCE與△BEF不全等，
∴CE≠EF；

（4）如圖2，在AC上截取AN=AE，
∵△ABC是等邊三角形，
∴∠A=∠ABC=60°，
∴∠ANE=∠AEN=60°，
∴∠CNE=∠EBF=120°，
∠1=∠2=60°-∠3，
在△CNE與△EBF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠1=∠2}\\{CN=EB}\\{∠CNE=∠EBF}\end{array}\right.$，
∴△CNE≌△EBF，
∴CE=EF，
∵∠CEF=60°，
∴△CEF是等邊三角形．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，要充分利用正方形的特殊性質(zhì)．注意在正方形中的特殊三角形的應(yīng)用．