Question

6．如圖，已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2，E是邊BC上的動(dòng)點(diǎn)，BF⊥AE交CD于點(diǎn)F，垂足為G，連結(jié)CG．下列說(shuō)法：①AG＞GE；②AE=BF；③點(diǎn)G運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)為π；④CG的最小值為$\sqrt{5}$-1．其中正確的說(shuō)法是②④．（把你認(rèn)為正確的說(shuō)法的序號(hào)都填上）

Answer 1

分析 根據(jù)正方形對(duì)角線(xiàn)的性質(zhì)可得出當(dāng)E移動(dòng)到與C重合時(shí)，F(xiàn)點(diǎn)和D點(diǎn)重合，此時(shí)G點(diǎn)為AC中點(diǎn)，故①錯(cuò)誤；求得∠BAE=∠CBF，根據(jù)正方形的性質(zhì)可得AB=BC，∠ABC=∠C=90°，然后利用“角角邊”證明△ABE和△BCF全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)角相等可得AE=BF，判斷出②正確；根據(jù)題意，G點(diǎn)的軌跡是以AB中點(diǎn)O為圓心，AO為半徑的圓弧，然后求出弧的長(zhǎng)度，判斷出③錯(cuò)誤；由于OC和OG的長(zhǎng)度是一定的，因此當(dāng)O、G、C在同一條直線(xiàn)上時(shí)，CG取最小值，根據(jù)勾股定理求出最小CG長(zhǎng)度．

解答 解：∵在正方形ABCD中，BF⊥AE，
∴∠AGB保持90°不變，
∴G點(diǎn)的軌跡是以AB中點(diǎn)O為圓心，AO為半徑的圓弧，
∴當(dāng)E移動(dòng)到與C重合時(shí)，F(xiàn)點(diǎn)和D點(diǎn)重合，此時(shí)G點(diǎn)為AC中點(diǎn)，
∴AG=GE，故①錯(cuò)誤；
∵BF⊥AE，
∴∠AEB+∠CBF=90°，
∵∠AEB+∠BAE=90°，
∴∠BAE=∠CBF，
在△ABE和△BCF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BAE=∠CBF}\\{∠ABE=∠BCF=90°}\\{AB=BC}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△BCF（AAS），
∴故②正確；
∵當(dāng)E點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)時(shí)停止，
∴點(diǎn)G運(yùn)動(dòng)的軌跡為$\frac{1}{4}$圓，
圓弧的長(zhǎng)=$\frac{1}{4}×π$×2=$\frac{π}{2}$，故③錯(cuò)誤；
由于OC和OG的長(zhǎng)度是一定的，因此當(dāng)O、G、C在同一條直線(xiàn)上時(shí)，CG取最小值，
OC=$\sqrt{O{B}^{2}+B{C}^{2}}=\sqrt{1+4}$=$\sqrt{5}$，
CG的最小值為OC-OG=$\sqrt{5}$-1，故④正確；
綜上所述，正確的結(jié)論有②④．
故答案為②④．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，弧長(zhǎng)的計(jì)算，勾股定理的應(yīng)用，熟記性質(zhì)并求出△ABE和△BCF全等是解題的關(guān)鍵，用阿拉伯?dāng)?shù)字加弧線(xiàn)表示角更形象直觀．