Question

4．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中存在兩個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)分別是A（1，2），B（3，-2）．
（1）求線段AB與x軸交點(diǎn)M的坐標(biāo)；
（2）在AB的右側(cè)是否存在一點(diǎn)C，使點(diǎn)A、B、C所組成的三角形為等腰直角三角形？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)C坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析 （1）先利用待定系數(shù)法求出直線AB的解析式，然后求出函數(shù)值為0所對(duì)應(yīng)的自變量的值即可得到M點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）過點(diǎn)B作DE∥x軸，分別過A點(diǎn)、C1點(diǎn)作AD⊥DE于D，C1E⊥DE于E，如圖，則BD=2，AD=4，通過證明△ABD≌△BC₁E得到AD=BE=4，BD=C₁E=2，所以點(diǎn)C₁的坐標(biāo)為（7，0）；利用同樣方法可得點(diǎn)C₂的坐標(biāo)；連結(jié)C₂C₁，則四邊形ABC₁C₂為正方形，對(duì)角線AC₁和BC₂相交于C₃，△ABC₃為等腰直角三角形，點(diǎn)C₃為AC₁的中點(diǎn)，然后根據(jù)線段中點(diǎn)坐標(biāo)公式可確定點(diǎn)C₃的坐標(biāo)．

解答 解：（1）設(shè)直線AB的解析式為y=kx+b，
把A（1，2），B（3，-2）分別代入得$\left\{\begin{array}{l}{k+b=2}\\{3k+b=-2}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-2}\\{b=4}\end{array}\right.$，
所以直線AB的解析式為y=-2x+4，
當(dāng)y=0時(shí)，-2x+4=0，解得x=2，
所以M（2，0）；
（2）存在
過點(diǎn)B作DE∥x軸，分別過A點(diǎn)、C1點(diǎn)作AD⊥DE于D，C1E⊥DE于E，如圖，則BD=2，AD=4，
∵△ABC₁為等腰直角三角形，
∴AB=BC₁，∠ABC₁=90°，
∴∠ABD+∠C₁BE=90°，
而∠ABD+∠BAD=90°，
∴∠C₁BE=∠BAD，
在△ABD和△BC₁E中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ADB=∠BE{C}_{1}}\\{∠BAD=∠{C}_{1}BE}\\{AB=B{C}_{1}}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△BC₁E，
∴AD=BE=4，BD=C₁E=2，
∴點(diǎn)C₁的坐標(biāo)為（7，0）；
作C₂F⊥AD于F，同理可得△ABD≌△C₂AF，
∴AD=C₂F=4，BD=AF=2，
∴點(diǎn)C₂的坐標(biāo)為（5，4）；
連結(jié)C₂C₁，則四邊形ABC₁C₂為正方形，對(duì)角線AC₁和BC₂相交于C₃，△ABC₃為等腰直角三角形，點(diǎn)C₃為AC₁的中點(diǎn)，
∴點(diǎn)C₃的坐標(biāo)為（4，1），
綜合所述，點(diǎn)C坐標(biāo)為（7，0），（5，4），（4，1）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了一次函數(shù)的綜合題：掌握一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征和等腰直角三角形的性質(zhì)；會(huì)利用待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式；能利用全等三角形的知識(shí)解決線段相等的問題；理解坐標(biāo)與圖形性質(zhì)．