Question

3．若整數(shù)a能被整數(shù)b整除，則一定存在整數(shù)n，使得$\frac{a}$=n，即a=bn，例如：若整數(shù)a能被整數(shù)7整除，則一定存在整數(shù)n，使得$\frac{a}{7}$=n，即a=7n．
（1）將一個(gè)多位自然數(shù)分解為個(gè)位與個(gè)位之前的數(shù)，讓個(gè)位之前的數(shù)減去個(gè)位數(shù)的兩倍，若所得之差能被7整除，則原多位自然數(shù)一定能被7整除．例如：將數(shù)字1078分解為8和107，107-8×2=91，因?yàn)?1能被7整除，所以1078能被7整除，請(qǐng)你證明任意一個(gè)三位數(shù)都滿足上述規(guī)律．
（2）若將一個(gè)多位自然數(shù)分解為個(gè)位與個(gè)位之前的數(shù)，讓個(gè)位之前的數(shù)加上個(gè)位數(shù)的k（k為正整數(shù)，1≤k≤15）倍，所得之和能被13整除，求當(dāng)k為何值時(shí)使得原多位自然數(shù)一定能被13整除．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題意設(shè)$\overline{ab}$-2c=10a+b能被7整除，再假設(shè)$\overline{ab}$-2c=7n（ n為自然數(shù) ），則10n+b=7n，進(jìn)而表示出$\overline{abc}$，即可得出答案；
（2）首先設(shè)m+kn=13a，10m+n=13b，則原多位數(shù)為10m+n，進(jìn)而得出b與a，k的關(guān)系，進(jìn)而得出答案．

解答 解：（1）設(shè)任意一個(gè)三位數(shù)為$\overline{abc}$（均為自然數(shù)且），
依題意假設(shè) $\overline{ab}$-2c=10a+b能被7整除，
不妨設(shè)$\overline{ab}$-2c=7n（ n為自然數(shù) ），則10n+b=7n，
$\overline{abc}$=100a+10b+c=10（10a+b）+c=10（7n+2c）+c=7（10n+3c），
所以 $\overline{abc}$能被7整除；

（2）以下出現(xiàn)的字母均為自然數(shù)，設(shè)個(gè)位之前及個(gè)位數(shù)分別為m、n，
依題意不妨設(shè)m+kn=13a，
則原多位數(shù)為10m+n，
依題意不妨設(shè)10m+n=13b，
聯(lián)立可得：b=10a-$\frac{n}{13}$（10k-1），
則10k-1為13倍數(shù)，分別將 k=1、2、3、4、5…15代入可知，只有k=4 時(shí)符合條件．

點(diǎn)評(píng) 此題主要考查了數(shù)的整除性，根據(jù)題意用未知數(shù)表示出各數(shù)是解題關(guān)鍵．