Question

3．如圖，平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A、B、C在x軸上，點(diǎn)D、E在y軸上，OA=OD=2，OC=OE=4．B為線段OA的中點(diǎn)．直線AD與經(jīng)過B、E、C三點(diǎn)的拋物線交于F、G兩點(diǎn)，與其對(duì)稱軸交于M，點(diǎn)P為線段FG上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（與F、G不重合）．PQ∥y軸與拋物線交于點(diǎn)Q．
（1）求經(jīng)過B、E、C三點(diǎn)的拋物線的解忻式；
（2）判斷△BDC的形狀．并紿出證明；當(dāng)P在什么位置時(shí)，以P、O、C為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形，并求出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）若拋物線的頂點(diǎn)為N．連接QN．探究四邊形PMNQ能否為菱形？若能，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不能，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析 （1）首先求出點(diǎn)B、C、E的坐標(biāo)，進(jìn)而設(shè)拋物線解析式為y=ax²+bx+c，列出a、b和c的三元一次方程組，求出a、b和c的值即可；
（2）利用勾股定理的逆定理即可求出△CBD是直角三角形；分OP=OC，PC=OC和PC=PO三種進(jìn)行進(jìn)行討論即可；
（3）首先求出MN的值，再用x表示出PQ的長，利用菱形的性質(zhì)即可列出x的一元二次方程，求出x的值，進(jìn)而作出判斷．

解答 解：（1）∵OA=OD=2，B為線段OA的中點(diǎn)，
∴OB=1，
∴點(diǎn)B坐標(biāo)為（-1，4），
∵OC=OE=4，
∴點(diǎn)E（0，4），點(diǎn)C（4，0），
設(shè)拋物線解析式為y=ax²+bx+c，
則$\left\{\begin{array}{l}{a-b+c=0}\\{c=4}\\{16a+4b+c=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{b=3}\\{c=4}\end{array}\right.$，
∴拋物線解析式為y=-x²+3x+4；
（2）△BDC是直角三角形；
∵BD²=BO²+DO²=5，CD²=DO²+CO²=20，BC²=（BO+CO）²=25，
∴BD²+CD²=BC²，
∴△BDC是直角三角形；
∵點(diǎn)A坐標(biāo)是（-2，0），點(diǎn)D坐標(biāo)是（0，2），
∴直線AD的解析式為y=x+2，
設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)為（x，x+2），
當(dāng)OP=OC時(shí)，x²+（x+2）²=16，
解得x=1+$\sqrt{7}$或x=1-$\sqrt{7}$（不符合題意，舍去），
此時(shí)點(diǎn)P（1+$\sqrt{7}$，3+$\sqrt{7}$），
當(dāng)PC=OC時(shí)，（x+2）²+（4-x）²=16，方程無解；
當(dāng)PO=PC時(shí)，點(diǎn)P在OC的中垂線上，
則點(diǎn)P的橫坐標(biāo)是2，點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為4，此時(shí)點(diǎn)P坐標(biāo)為（2，4），
綜上，當(dāng)△POC是等腰三角形時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1+$\sqrt{7}$，3+$\sqrt{7}$）或（2，4）．
（3）∵y=-x²+3x+4=-（x-$\frac{3}{2}$）²+$\frac{25}{4}$，
∴點(diǎn)N坐標(biāo)是（$\frac{3}{2}$，$\frac{25}{4}$），
∵點(diǎn)M在直線AC上，
∴點(diǎn)M坐標(biāo)為（$\frac{3}{2}$，$\frac{7}{2}$），
∴MN=$\frac{11}{4}$，
設(shè)點(diǎn)P為（x，x+2），Q（x，-x²+3x+4），則PQ=-x²+2x+2，
若PQMN是菱形，則PQ=MN，
即$\frac{11}{4}$=-x²+2x+2，
解得x₁=0.5，x₂=1.5，
當(dāng)x₂=1.5時(shí)，點(diǎn)P與點(diǎn)M重合；
當(dāng)x₁=0.5時(shí)，求得PM=$\sqrt{2}$，所以菱形不存在．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了二次函數(shù)綜合題，此題涉及到待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式、等腰三角形的性質(zhì)、菱形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，解答本題（2）問的關(guān)鍵是對(duì)等腰三角形進(jìn)行分類討論，解答（3）問的關(guān)鍵是求出MN的長以及用x表示PQ的長，此題有一定的難度．