Question

3．在直角坐標系中，已知A（-2，1），B（0，1），C（-1，0），D（-4，-2），E（1，-2）五個點，拋物線m：y=ax²+2ax+h+a（a，h為常數(shù)，且a＜0）經(jīng)過其中三個點．
（1）將拋物線y=ax²+2ax+h+a（a，h為常數(shù)，且a＜0）的解析式寫成“y=a（x-h）²+k”的形式，并寫出其頂點坐標和對稱軸（可含a，h）
（2）試探究：是否存在點C在拋物線m上的情形？若不存在，請說明理由；若存在，求出在此情況下的a，h的值．
（3）求a和h的值．

Answer 1

分析 （1）利用配方法將拋物線y=ax²+2ax+h+a（a，h為常數(shù)，且a＜0）的解析式寫成“y=a（x-h）²+k”的形式，根據(jù)該形式下的拋物線解析式寫出頂點坐標和對稱軸（可含a，h）；
（2）根據(jù)已知點的坐標特征和拋物線的對稱性得到：點A、B同時在拋物線上或同時不在拋物線上；點D、E所對應的y值相等，則點D、E同時在拋物線上或同時不在拋物線上．所以把點C的坐標代入拋物線解析式，利用“拋物線m經(jīng)過其中三個點”進行推理即可；
（3）利用（2）的推理過程，把點B、E或B、D代入函數(shù)解析式，借助于方程組來求系數(shù)a和h的值．

解答 解：（1）y=ax²+2ax+h+a=a（x+1）²+h，即拋物線m為：y=a（x+1）²+h，
所以其項點坐標是（-1，h） 對稱軸是x=-1；

（2）不存在．理由如下：
由（1）知，拋物線m的對稱軸為x=-1．
∵D（-4，-2），E（1，-2），則點D、E的縱坐標相等，所以點D、E同時在拋物線上或同時不在拋物線上．
假設(shè)點D、E同時在拋物線上，則該拋物線的對稱軸是x=-1.5，與對稱軸為x=-1矛盾，
所以，點D、E不能同時在拋物線m上．
∵A（-2，1）與B（0，1）關(guān)于直線x=-1對稱，
∴點A、B同時在拋物線上或同時不在拋物線上．
假設(shè)存在點C在拋物線m上的情形，則把點C（-1，0）代入，得
h=0，
則y=a（x+1）²≤0，
∴A、B兩點不可能同時在拋物線上．
即不滿足存在三個點在拋物線的條件，
∴不存在點C在拋物線m上的情形；

（3）由（2）知，點A、B能同時在拋物線m上，點D、E不能同時在拋物線m上，點C不能在拋物線m上．
假設(shè)點E在拋物線m上，則把點B、E的坐標代入，得
$\left\{\begin{array}{l}{1=h+a\\}\\{-2=4a+h\\}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{h=2}\end{array}\right.$；
假設(shè)點D在拋物線m上，則把點B、D的坐標代入，得
$\left\{\begin{array}{l}{1=h+a}\\{-2=9a+h}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{3}{8}}\\{h=\frac{11}{8}}\end{array}\right.$．
綜上所述，a=-1，h=2或a=-$\frac{3}{8}$，h=$\frac{11}{8}$．

點評 本題綜合考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，二次函數(shù)圖象的對稱性，二次函數(shù)解析式的三種形式以及二次函數(shù)圖象上點的坐標特征．另外，解答（3）題時，要分類討論，分點A、B、E同時在拋物線m上和點A、B、D同時在拋物線m上兩種情形下的a、h的值．