Question

3．如圖，在△ABC中，AB=AC=5cm，BC=6cm，AD⊥BC于D．動(dòng)點(diǎn)E從點(diǎn)C出發(fā)，以1cm/s的速度沿C→A的方向運(yùn)動(dòng)．作EF∥AB，交BC于點(diǎn)F，連接DE．同時(shí)動(dòng)點(diǎn)P由點(diǎn)A出發(fā)，沿A→B的方向以相同的速度運(yùn)動(dòng)．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為ts（0＜t＜5）．
（1）當(dāng)t為何值時(shí)，四邊形PBFE是平行四邊形？
（2）當(dāng)t為何值時(shí)，△DEF的面積為$\frac{3}{4}$cm²？請(qǐng)寫出求解過(guò)程；
（3）是否存在某一時(shí)刻t，使得△PEF是等腰三角形？若存在，直接寫出此時(shí)t的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）先證得DE=EC，然后根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得出PB=EF，即可證得PB=EC，從而求得t=5-t，解方程即可求得；
（2）根據(jù)勾股定理求得AD=4，過(guò)E點(diǎn)作EH⊥BC于H，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出$\frac{EH}{4}$=$\frac{t}{5}$=$\frac{FC}{6}$，求得EH=$\frac{4}{5}$t，F(xiàn)C=$\frac{6}{5}$t，然后分①當(dāng)0＜t≤$\frac{5}{2}$時(shí)，DF=3-$\frac{6}{5}$t，②當(dāng)$\frac{5}{2}$＜t＜5時(shí)，DF=$\frac{6}{5}$t-3，根據(jù)三角形面積公式列出方程，解方程即可求得；
（3）作CM⊥AB于M，EN⊥AB于N，根據(jù)三角形相似對(duì)應(yīng)邊成比例求得CM=$\frac{24}{5}$，BM=$\frac{18}{5}$，AM=$\frac{7}{5}$，進(jìn)而求得EN=$\frac{24}{5}$-$\frac{24}{25}$t，AN=$\frac{7}{5}$-$\frac{7}{25}$t，PN=t-（$\frac{7}{5}$-$\frac{7}{25}$t）=$\frac{32}{25}$t-$\frac{7}{5}$，根據(jù)勾股定理得出PE²=（$\frac{24}{5}$-$\frac{24}{25}$t）²+（$\frac{32}{25}$t-$\frac{7}{5}$）²=$\frac{64}{25}$t²-$\frac{64}{5}$t+25，然后分三種情況分別討論即可求得．

解答 解：（1）∵四邊形PBFE是平行四邊形，
∴PB=EF，
∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∵EF∥AB，
∴∠EFC=∠B，
∴∠EFC=∠C，
∴EF=EC，
∵AP=EC=t，
∴EF=t，PB=5-t，
∴t=5-t，
解得t=$\frac{5}{2}$；
（2）∵AB=AC，AD⊥BC，
∴BD=CD=3，
∴AD=$\sqrt{A{B}^{2}-B{D}^{2}}$=$\sqrt{{5}^{2}-{3}^{2}}$=4，
過(guò)E點(diǎn)作EH⊥BC于H，
∵AD⊥BC，
∴EH∥AD，
∴$\frac{EH}{AD}$=$\frac{EC}{AC}$=$\frac{CF}{BC}$，
即$\frac{EH}{4}$=$\frac{t}{5}$=$\frac{FC}{6}$，
∴EH=$\frac{4}{5}$t，F(xiàn)C=$\frac{6}{5}$t，
①當(dāng)0＜t≤$\frac{5}{2}$時(shí)，DF=3-$\frac{6}{5}$t，
∴△DEF的面積=$\frac{1}{2}$DF•EH=$\frac{1}{2}$×$\frac{4}{5}$t×（3-$\frac{6}{5}$t）=$\frac{3}{4}$，
解得t=$\frac{5}{4}$；
②當(dāng)$\frac{5}{2}$＜t＜5時(shí)，DF=$\frac{6}{5}$t-3，
∴△DEF的面積=$\frac{1}{2}$DF•EH=$\frac{1}{2}$×（$\frac{6}{5}$t-3）×$\frac{4}{5}$t=$\frac{3}{4}$，
解得，t₁=$\frac{5+5\sqrt{2}}{4}$，t₂=$\frac{5-5\sqrt{2}}{4}$（舍去）；
綜上所述，t=$\frac{5}{4}$或$\frac{5+5\sqrt{2}}{4}$時(shí)，△DEF的面積為$\frac{3}{4}$cm²； 
（3）如圖4，作CM⊥AB于M，EN⊥AB于N，
∵∠CMB=∠ADB=90°，∠ABD=∠MBC，
∴△MBC∽△DBA，
∴$\frac{CM}{AD}$=$\frac{BC}{AB}$=$\frac{BM}{BD}$，即$\frac{CM}{4}$=$\frac{6}{5}$=$\frac{BM}{3}$
∴CM=$\frac{24}{5}$，BM=$\frac{18}{5}$，
∴AM=$\frac{7}{5}$，
∵CM⊥AB，EN⊥AB，
∴EN∥CM，
∴$\frac{EN}{CM}$=$\frac{AE}{AC}$=$\frac{AN}{AM}$，即$\frac{EN}{\frac{24}{5}}$=$\frac{5-t}{5}$=$\frac{AN}{\frac{7}{5}}$
∴EN=$\frac{24}{5}$-$\frac{24}{25}$t，AN=$\frac{7}{5}$-$\frac{7}{25}$t，
∴PN=t-（$\frac{7}{5}$-$\frac{7}{25}$t）=$\frac{32}{25}$t-$\frac{7}{5}$，
∴PE²=（$\frac{24}{5}$-$\frac{24}{25}$t）²+（$\frac{32}{25}$t-$\frac{7}{5}$）²=$\frac{64}{25}$t²-$\frac{64}{5}$t+25，
∵EF=t，PF=PB=5-t，
①EF=PF時(shí)，t=$\frac{5}{2}$；
②PE²=PF²時(shí)，$\frac{64}{25}$t²-$\frac{64}{5}$t+25=25-10t+t²
解得t₁=0（舍），t₂=$\frac{70}{39}$；
③EF²=PE²時(shí)，$\frac{64}{25}$t²-$\frac{64}{5}$t+25=t²
解得t₁=5（舍），t₂=$\frac{125}{39}$，
綜上所述，t=$\frac{5}{2}$或$\frac{70}{39}$或$\frac{125}{39}$時(shí)，△PEF是等腰三角形．

點(diǎn)評(píng) 本題是四邊形的綜合題，考查了平行四邊形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，三角形相似的判定和性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用以及三角形面積等，作出輔助線構(gòu)建直角三角形是解題的關(guān)鍵．