Question

18．如圖，AB是半圓O的直徑，過半圓O上一點D作DE⊥AB，垂足為E，作半圓O的切線DC，交AB的延長線于點C，連結(jié)OD、BD．
（1）求證：BD平分∠CDE；
（2）過點B作BF∥CD交DE于點F，若BE=4，sin∠BOD=$\frac{4}{5}$，求線段BC的長．

Answer 1

分析 （1）由CD是⊙O的切線，得到∠CDB+∠ODB=90°，由DE⊥AB得到∠EDB+∠OBD=90°，然后根據(jù)等角的余角相等即可得到結(jié)論；
（2）由∠CDO=90°，sin∠BOD=$\frac{4}{5}$，設(shè)CD=4k，OC=5k由勾股定理得到OD=$\sqrt{O{C}^{2}-C{D}^{2}}$=3k，通過△COD∽△DOE，列比例式即可得到結(jié)論．

解答 （1）證明：∵CD是⊙O的切線，
∴∠CDO=90°，
∴∠CDB+∠ODB=90°，
∵DE⊥AB
∴∠DEB=90°，
∴∠EDB+∠OBD=90°，
∵OD=OB，
∴∠ODB=∠OBD，
∴∠CDB=∠BDE，
∴BD平分∠CDE；

（2）解：∵∠CDO=90°，sin∠BOD=$\frac{4}{5}$，
∴設(shè)CD=4k，OC=5k，
∴OD=$\sqrt{O{C}^{2}-C{D}^{2}}$=3k，
∴OB=3k，BC=2k，
∵∠ODC=∠OED=90°，∠DOE=∠DOC，
∴△COD∽△DOE，
∴$\frac{OD}{OE}=\frac{OC}{OD}$，
∴OD²=OE•OC，
即（3k）²=（3k-4）•5k，
解得：k=$\frac{10}{3}$，
∴BC=2k=$\frac{20}{3}$．

點評 本題考查了切線的性質(zhì)，角平分線的判定，三角函數(shù)，相似三角形的判定和性質(zhì)，找準△COD∽△DOE是解題的關(guān)鍵．