Question

11．如圖，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AD=6，BC=8，AB=3$\sqrt{3}$，點(diǎn)M是BC的中點(diǎn)．點(diǎn)P從點(diǎn)M出發(fā)沿MB以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)的速度向點(diǎn)B勻速運(yùn)動(dòng)，到達(dá)點(diǎn)B后立刻以原速度沿BM返回；點(diǎn)Q從點(diǎn)M出發(fā)以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)的速度在射線MC上勻速運(yùn)動(dòng)．在點(diǎn)P，Q的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，以PQ為邊作等邊三角形EPQ，使它與梯形ABCD在射線BC的同側(cè)．點(diǎn)P，Q同時(shí)出發(fā)，當(dāng)點(diǎn)P返回到點(diǎn)M時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q也隨之停止．設(shè)點(diǎn)P，Q運(yùn)動(dòng)的時(shí)間是t秒（t＞0）．
（1）設(shè)PQ的長(zhǎng)為y，在點(diǎn)P從點(diǎn)M向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，寫(xiě)出y與t之間的函數(shù)關(guān)系式（不必寫(xiě)t的取值范圍）．
（2）當(dāng)BP=1時(shí)，求△EPQ與梯形ABCD重疊部分的面積．
（3）隨著時(shí)間t的變化，線段AD會(huì)有一部分被△EPQ覆蓋，被覆蓋線段的長(zhǎng)度在某個(gè)時(shí)刻會(huì)達(dá)到最大值，請(qǐng)回答：該最大值能否持續(xù)一個(gè)時(shí)段？若能，直接寫(xiě)出t的取值范圍；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）由y=PM+QM列出函數(shù)關(guān)系式即可；
（2）當(dāng)t=3或t=5時(shí)，BP=1，然后畫(huà)出圖形，計(jì)算即可；
（3）當(dāng)t=4時(shí)，△EPQ的邊長(zhǎng)達(dá)到最大值，此后△EPQ沿射線BC平移，從而可求得t的取值范圍．

解答 解：（1）y=PQ=PM+MQ=t+t=2t；
（2）如圖1所示：連接EM．

當(dāng)t=3時(shí)，PB=1．
∵PM=QM，
∴EM⊥PQ．
∵PB=1，
∴PM=QM=3．
∵△EPQ為等邊三角形，
∴PE=6．
在Rt△EPQ中，ME=$\sqrt{P{E}^{2}-P{M}^{2}}=\sqrt{{6}^{2}-{3}^{2}}$=3$\sqrt{3}$．
∴點(diǎn)E在AD上．
∴△EPQ與梯形ABCD重疊部分的面積=${S}_{△EPQ}=\frac{1}{2}×6×3\sqrt{3}$=9$\sqrt{3}$．
如圖2所示：過(guò)點(diǎn)E作EN⊥BQ，交AD于點(diǎn)G，EP交AD于點(diǎn)F．

當(dāng)t=5時(shí)，PB=1時(shí)，
∵△EPQ為等邊三角形，
∴PQ=PE=8，PN=QN=4．
在Rt△EPN中，EN=$\sqrt{P{E}^{2}-P{N}^{2}}=\sqrt{{8}^{2}-{4}^{2}}=4\sqrt{3}$，
∵DF∥PQ，
∴△EFD∽△EPQ．
∴$\frac{EG}{EN}=\frac{FD}{PQ}$．
∴$\frac{\sqrt{3}}{4\sqrt{3}}=\frac{DF}{8}$．
解得：DF=2．
∴△EPQ與梯形ABCD重疊部分的面積=$\frac{1}{2}（DF+PQ）AB=\frac{1}{2}×（2+8）×3\sqrt{3}$=15$\sqrt{3}$．
（3）能．
如圖3所示；

當(dāng)t=4時(shí)，△EPQ與△BCE′重合，此時(shí)線段AD被覆蓋的長(zhǎng)度到達(dá)最大值，
t=5時(shí)，△EPQ位于圖中所示的位置，
∴4≤t≤5時(shí)，AD倍△EPQ覆蓋部分的長(zhǎng)度不變．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查的是四邊形的綜合應(yīng)用、等腰三角形的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)、勾股定理、三角形的面積公式、梯形的面積公式，根據(jù)題意畫(huà)出圖形是解題的關(guān)鍵．