Question

12．如圖，拋物線經(jīng)過A（4，0），B（1，0），C（0，-2）三點(diǎn)．
（1）求出拋物線的解析式；
（2）點(diǎn)D是在直線AC上方的拋物線上的一點(diǎn)，求△DCA面積的最大值；
（3）P是拋物線上的一動點(diǎn)，過P作PM⊥x軸，垂足為M，是否存在P點(diǎn)，使得以A，P，M為頂點(diǎn)的三角形與△OAC相似？若存在，請求出符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）設(shè)拋物線的解析式為y=ax²+bx-2，然后將點(diǎn)A和點(diǎn)B的坐標(biāo)代入求解即可；
（2）過D作y軸的平行線交AC于E，將△DCA分割成兩個三角形△CDE，△ADE，它們的底相同，為DE，高的和為4，就可以表示它們的面積和，即△DCA的面積，運(yùn)用代數(shù)式的變形求最大值；
（3）△OAC是直角三角形，以A，P，M為頂點(diǎn)的三角形與其相似，由于點(diǎn)P可能在x軸的上方，或者下方，分三種情況，分別用相似比解答．

解答 解：（1）Q該拋物線過點(diǎn)C（0，-2），
∴可設(shè)該拋物線的解析式為y=ax²+bx-2．
將A（4，0），B（1，0）代入得：$\left\{\begin{array}{l}{16a+4b-2=0}\\{a+b-2=0}\end{array}\right.$解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{1}{2}}\\{b=\frac{5}{2}}\end{array}\right.$
∴此拋物線的解析式為y=-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{5}{2}$x-2．
（2）如圖，設(shè)D點(diǎn)的橫坐標(biāo)為t（0＜t＜4），則D點(diǎn)的縱坐標(biāo)為-$\frac{1}{2}$t²+$\frac{5}{2}$t-2．

過D作y軸的平行線交AC于E．
由題意可求得直線AC的解析式為y=$\frac{1}{2}$x-2．
∴E點(diǎn)的坐標(biāo)為（t，$\frac{1}{2}$t-2）．
∴DE=-$\frac{1}{2}$t²+$\frac{5}{2}$t-2-（$\frac{1}{2}$t-2）=-$\frac{1}{2}$t²+2t．
∴S_△DAC=$\frac{1}{2}$×（-$\frac{1}{2}$t²+2t）×4=-t²+4t=-（t-2）²+4．
∴當(dāng)t=2時，△DAC面積最大值為4．
（3）存在．

如圖，設(shè)P點(diǎn)的橫坐標(biāo)為m，則p點(diǎn)的縱坐標(biāo)為-$\frac{1}{2}$m²+$\frac{5}{2}$m-2．
當(dāng)1＜m＜4時，AM=4-m，PM=-$\frac{1}{2}$m²+$\frac{5}{2}$m-2．
又∵∠COA=∠PMA=90°，
∴①當(dāng)$\frac{AM}{PM}$=$\frac{AO}{OC}$=$\frac{2}{1}$時，△APM∽△ACO，即4-m=2（-$\frac{1}{2}$m²+$\frac{5}{2}$m-2）．
解得m=2或m=4（舍去）
∴P（2，1）．
②當(dāng)$\frac{AM}{PM}$=$\frac{OC}{OA}$=$\frac{1}{2}$時，△APM∽△CAO，即2（4-m）=-$\frac{1}{2}$m²+$\frac{5}{2}$m-2．
解得m=4或m=5（均不合題意）．
∴當(dāng)1＜m＜4時，P（2，1）．
如圖所示：當(dāng)m＞4時，過點(diǎn)P作PM⊥x軸，垂足為M．

設(shè)P點(diǎn)的橫坐標(biāo)為m，則p點(diǎn)的縱坐標(biāo)為-$\frac{1}{2}$m²+$\frac{5}{2}$m-2．則AM=m-4，PM=$\frac{1}{2}$m²-$\frac{5}{2}$m+2．
當(dāng)$\frac{AM}{PM}$=$\frac{AO}{OC}$=$\frac{2}{1}$時，△APM∽△ACO，即m-4=2（$\frac{1}{2}$m²-$\frac{5}{2}$m+2），
解得m=2或m=4均不和題意．
當(dāng)$\frac{AM}{PM}$=$\frac{OC}{AO}$=$\frac{1}{2}$時，△APM∽△CAO，即2（m-4）=$\frac{1}{2}$m²+$\frac{5}{2}$m-2．
解得m=4（不合題意）或m=5．
∴P（5，-2）．
如圖4所示：當(dāng)m＜1時，過點(diǎn)P作PM⊥x軸，垂足為M．

設(shè)P點(diǎn)的橫坐標(biāo)為m，則p點(diǎn)的縱坐標(biāo)為-$\frac{1}{2}$m²+$\frac{5}{2}$m-2．則AM=4-m，PM=$\frac{1}{2}$m²-$\frac{5}{2}$m+2．
當(dāng)$\frac{AM}{PM}$=$\frac{AO}{OC}$=$\frac{2}{1}$時，△APM∽△ACO，即4-m=2（$\frac{1}{2}$m²-$\frac{5}{2}$m+2），
解得m=0或m=4均不和題意．
當(dāng)$\frac{AM}{PM}$=$\frac{OC}{AO}$=$\frac{1}{2}$時，△APM∽△CAO，即2（4-m）=$\frac{1}{2}$m²-$\frac{5}{2}$m+2．
解得m=-3或m=4．
∴P（-3，-14），
當(dāng)P，C重合時，△APM≌△ACO，
P（0，-2）．
綜上所述，符合條件的點(diǎn)P為（2，1）或（5，-2）或（-3，-14）或（0，-2）．

點(diǎn)評 本題主要考查的是二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，解答本題主要應(yīng)用了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式、相似三角形的判定，分類討論是解題的關(guān)鍵．