Question

8．對于某一個函數(shù)，自變量x在規(guī)定的范圍內，若任意取兩個值x₁x₂，它們的對應函數(shù)值分別為y₁和y₂．若
x₂＞x₁時，有y₂＞y₁，則稱該函數(shù)單調遞增；若x₂＞x₁時，有y₂＞y₁，則稱該函數(shù)單調遞減．例如二次函數(shù)y=x²，在x≥0時，該函數(shù)單調遞增；在x≤0時，該函數(shù)單調遞減．
（1）二次函數(shù)：y=（x=1）²+2自變量x在哪個范圍內，該函數(shù)單調遞減？
答：x≤-1．
（2）試說明函數(shù)：y=x-$\frac{1}{x}$在x＞1的函數(shù)范圍內，是單調遞增還是單調遞減？
（3）若存在兩個關于x的一次函數(shù)，分別記為：g=k₁x+b₁和h=k₂x+b₂，且函數(shù)g在實數(shù)范圍內單調遞增，函數(shù)h在實數(shù)范圍內單調遞減．記第三個一次函數(shù)y=g+h，則比例系數(shù)k₁和k₂滿足何種條件時，函數(shù)y在實數(shù)范圍內單調遞增？

Answer 1

分析 （1）根據(jù)a＞0，二次函數(shù)的自變量在對稱軸左側單調遞減，可得答案；
（2）根據(jù)y隨x的增大而增大，可得證明的結論；
（3）根據(jù)一次函數(shù)的性質，可得答案．

解答 （1）解：y=（x+1）²+2自變量在x≤-1范圍內，該函數(shù)單調遞減；
故答案為：x≤-1；
（2）證明：任取 x₂＞x₁，
則y₂-y₁=（x₂-$\frac{1}{{x}_{2}}$）-（x₁-$\frac{1}{{x}_{1}}$）=（x₂-x₁）+（$\frac{1}{{x}_{2}}$-$\frac{1}{{x}_{1}}$）
=（x₂-x₁）+（$\frac{{x}_{2}-{x}_{1}}{{x}_{2}{x}_{1}}$）
因為x₂＞x₁，所以y₂＞y₁
∴y=x-$\frac{1}{x}$在x＞1的函數(shù)范圍內，該函數(shù)單調遞增；
（3）解：g=k₁x+b₁和h=k₂x+b₂，且函數(shù)g在實數(shù)范圍內單調遞增，函數(shù)h在實數(shù)范圍內單調遞減，
∴k_1＞0，k₂＜0，
y=g+h
即y=（k₁x+b₁）+（k₂x+b₂）=（k₁+k₂）x+（b₁+b₂）
y=（k₁+k₂）x+（b₁+b₂）單調遞增，
∴k₁+k₂＞0，
故一次函數(shù)y=g+h，
則比例系數(shù)k₁和k₂滿足k₁＞0，k₂＜0，k₁+k₂＞0時，函數(shù)y在實數(shù)范圍內單調遞增．

點評 本題考查了二次函數(shù)的性質，a＞0時，自變量在對稱軸的左側y隨x的增大而減小，自變量在對稱軸的右側，y隨x的增大而增大．