Question

16．將矩形ABCO如圖放置在平面直角坐標(biāo)系中，∠ABO的平分線BE交x軸于點D，交y軸于點E，線段OA，OC（OA＜OC）的長是一元二次方程x²-21x+108=0的兩根，請你解答下列問題：
（1）求點B的坐標(biāo)；
（2）點F在線段OB上，若△ADF的面積為8，反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$的圖象經(jīng)過點F，求k的值；
（3）在（2）的條件下，點P是直線BC上的點，在坐標(biāo)平面內(nèi)是否存在點Q，使點B，F(xiàn)，P，Q為頂點的四邊形是菱形？若存在，直接寫出點Q的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）求出已知方程的解得到OA與OC的長，即可確定出B的坐標(biāo)；
（2）由四邊形ABCO是矩形，得到四個角為直角，AB與CE平行，利用勾股定理求出BO的長，根據(jù)BE為角平分線，得到一對角相等，再由兩直線平行內(nèi)錯角相等，等量代換及等角對等邊得到BO=EO，根據(jù)AB與OE平行得到三角形ABD與三角形ODE相似，由相似得比例求出AD的長，根據(jù)三角形ADF面積求出F的縱坐標(biāo)，過F作FM垂直于x軸，進(jìn)而確定出三角形FOM與三角形BAO相似，由相似得比例求出OM的長，確定出F的坐標(biāo)，即可求出k的值；
（3）如圖所示，四邊形Q₁FBC，四邊形Q₂FCB，四邊形A₃BFC都為菱形，求出相應(yīng)Q坐標(biāo)即可．

解答 解：（1）方程x²-21x+108=0，
變形得：（x-9）（x-12）=0，
解得：x₁=9，x₂=12，
∵OA＜OC，
∴OA=9，OC=12，
∴點B的坐標(biāo)為（-9，12）；
（2）∵四邊形ABCO是矩形，
∴AB∥CE，∠BAO=90°，
在Rt△ABO中，根據(jù)勾股定理得：BO=$\sqrt{A{O}^{2}+A{B}^{2}}$=15，
∵BE平分∠ABO，
∴∠ABD=∠OBD，∠ABD=∠DEO，
∴∠ABD=∠OBD=∠DEO，
∴BO=OE=15，
∵△ABD∽△OED，
∴$\frac{AD}{9-AD}$=$\frac{AB}{OE}$=$\frac{12}{15}$=$\frac{4}{5}$，
∴AD=4，
∵S_△ADF=8，點F在BO上，
∴$\frac{1}{2}$×4×y_F=8，
∴y_F=4，
過點F作FM⊥AO于點M，
∴FM∥AB，
∴△FMO∽△BAO，
∴$\frac{OM}{OA}$=$\frac{FM}{AB}$，即$\frac{OM}{9}$=$\frac{4}{12}$，
∴OM=3，
∴點F的坐標(biāo)為（-3，4），
∴k=xy=-12；
（3）如圖所示，滿足題意得Q坐標(biāo)分別為Q₁（7，4）；Q₂（-13，4）；Q₃（-3，20）．

點評 此題屬于一次函數(shù)綜合題，涉及的知識有：相似三角形的判定與性質(zhì)，一元二次方程的解法，勾股定理，矩形的性質(zhì)，坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，以及待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式，熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．