Question

2．如圖，一次函數(shù)y=-x+1的圖象與x軸、y軸分別交于點(diǎn)A、B．點(diǎn)C在y軸的正半軸上，且sin∠ACB=$\frac{\sqrt{10}}{10}$ 
（1）求點(diǎn)C的坐標(biāo)；
（2）在直線AB上有一點(diǎn)D，若滿足∠CDB=∠ACB，求BD的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)一次函數(shù)圖象的點(diǎn)的坐標(biāo)得出OA=1，利用三角函數(shù)即可得出OC的長(zhǎng)度，得出坐標(biāo)即可；
（2）分當(dāng)點(diǎn)D在AB的延長(zhǎng)線時(shí)和當(dāng)點(diǎn)D在BA的延長(zhǎng)線上時(shí)兩種情況進(jìn)行分析解答．

解答 解：（1）∵一次函數(shù)y=-x+1，
∴OA=1，
在Rt△OAC中，
∵sin∠ACB=$\frac{\sqrt{10}}{10}$，
∴OC=3，
即C的坐標(biāo)為（0，3）；
（2）①當(dāng)點(diǎn)D在AB的延長(zhǎng)線時(shí)，過(guò)點(diǎn)C作CE⊥AB于點(diǎn)E，如圖1：
由直線AB表達(dá)式可得：OB=1，∠ABO=45°，
∴BC=2，∠CBE=45°，
在Rt△CBE中，可得：CE=BE=$\sqrt{2}$，BC=2，
在Rt△CDE中，
∵sin∠CDE=$\frac{\sqrt{10}}{10}$，
∴DE=3CE=3$\sqrt{2}$，
∴BD=BE+ED=4$\sqrt{2}$；
②當(dāng)點(diǎn)D在BA的延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖2：
由對(duì)稱性可知，DE=3$\sqrt{2}$，
∴BD=DE-BE=2$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評(píng) 此題考查一次函數(shù)點(diǎn)的坐標(biāo)，關(guān)鍵是根據(jù)一次函數(shù)圖象的性質(zhì)得出其點(diǎn)的坐標(biāo)．