Question

7．如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，矩形AOCD的邊OC、OA分別在x軸、y軸上，點(diǎn)D的坐標(biāo)為（6，4），點(diǎn)P是線段AD邊上的任意一點(diǎn)（不含端點(diǎn)A、D），連結(jié)PC，過(guò)點(diǎn)P作PE⊥PC交AO于E點(diǎn)．
（1）當(dāng)點(diǎn)P坐標(biāo)為（4，4）時(shí)，求點(diǎn)E的坐標(biāo)；
（2）當(dāng)點(diǎn)P坐標(biāo)為（5，4）時(shí)，在線段AD上是否存在不同于P的點(diǎn)Q，使得QC⊥QE？若存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；
（3）當(dāng)點(diǎn)P在AD上運(yùn)動(dòng)時(shí)，對(duì)應(yīng)的點(diǎn)E也隨之在AO上運(yùn)動(dòng)，求OE的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題意證明△APE≌△DCP即可；
（2）假設(shè)存在這樣的點(diǎn)Q，根據(jù)△APE∽△DCP求出AE的長(zhǎng)，再根據(jù)△QAE∽△CDQ列出比例式，求出AQ；
（3）設(shè)AP=x，AE=y，根據(jù)△APE∽△DCP，得到y(tǒng)與x的函數(shù)關(guān)系式，求出函數(shù)最大值得到答案．

解答 解：（1）∵∠EAD=∠EPC=∠PDC，
∴∠APE=∠DCP，
$\left\{\begin{array}{l}{∠APE=∠DCP}\\{AP=CD}\\{∠PAE=∠CDP}\end{array}\right.$，
∴△APE≌△DCP，
∴AE=PD=2，
∴點(diǎn)E（0，2）；
（2）存在這樣的點(diǎn)Q，
假設(shè)存在這樣的點(diǎn)Q，
∵∠EAP=∠EPC=∠PDC，
∴△APE∽△DCP，
∴$\frac{AP}{DC}$=$\frac{AE}{DP}$，
∵AP=5，CD=4，DP=1，
∴AE=$\frac{5}{4}$，
∵∠EAQ=∠EQC=∠QDC，
∴△QAE∽△CDQ，
∴$\frac{AQ}{CD}$=$\frac{AE}{DQ}$，
設(shè)AQ=x，$\frac{x}{4}$=$\frac{\frac{4}{5}}{6-x}$，
解得x=1或x=5，當(dāng)x=5時(shí)點(diǎn)Q與點(diǎn)P重合，故舍去，
所以存在這樣的點(diǎn)Q，其坐標(biāo)為（1，4）；
（3）設(shè)AP=x，AE=y，
∵△APE∽△DCP，
∴$\frac{AP}{DC}$=$\frac{AE}{DP}$，
∴$\frac{x}{4}$=$\frac{y}{6-x}$，
∴$y=-\frac{1}{4}{x^2}+\frac{3}{2}x$，
當(dāng)x=3時(shí)（在0＜x＜6范圍內(nèi)），y_最大值=$\frac{9}{4}$，
又∵E在AB上運(yùn)動(dòng)，且AO=4，
∴OE的最小值為4-$\frac{9}{4}$=$\frac{7}{4}$，
∴OE的取值范圍是$\frac{7}{4}$≤BE＜4．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的是矩形的性質(zhì)和相似三角形的判定和性質(zhì)，掌握性質(zhì)并靈活運(yùn)用性質(zhì)進(jìn)行解答是解題的關(guān)鍵，注意二次函數(shù)最值的確定方法．