Question

6．探究1：如圖1，在△ABC中，O是∠ABC與∠ACB的平分線BO和CO的交點(diǎn)，試分析∠BOC與∠A有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)說明理由．
探究2：如圖2中，O是∠ABC與外角∠ACD的平分線BO和CO的交點(diǎn)，則∠BOC與∠A有怎樣的關(guān)系？（只寫結(jié)論，不需證明）結(jié)論：∠BOC=$\frac{1}{2}$∠A．
探究3：如圖3中，O是外角∠DBC與外角∠ECB的平分線BO和CO的交點(diǎn)，則∠BOC與∠A有怎樣的關(guān)系？（只寫結(jié)論，不需證明）結(jié)論：∠BOC=90°-$\frac{1}{2}$∠A．

Answer 1

分析 （1）利用角平分線的性質(zhì)得出∠1+∠2=$\frac{1}{2}$（∠ABC+∠ACB），進(jìn)一步利用三角形的內(nèi)角和得出∠ABC+∠ACB=180°-∠A，∠BOC=180°-（∠1+∠2），進(jìn)一步整理得出答案；
（2）利用角平分線的性質(zhì)與外角的性質(zhì)得出∠2=$\frac{1}{2}$∠A+∠1，∠BOC=∠2-∠1，然后整理即可得到∠BOC與∠A的關(guān)系；
（3）根據(jù)三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和以及角平分線的定義表示出∠OBC與∠OCB，然后再根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理列式整理即可得解．

解答 解：如圖，

通過分析發(fā)現(xiàn)探究2結(jié)論：∠BOC=90°+$\frac{1}{2}$∠A，
理由如下：∵BO和CO分別是∠ABC和∠ACB的角平分線，
∴∠1=$\frac{1}{2}$∠ABC，∠2=$\frac{1}{2}$∠ACB，
∴∠1+∠2=$\frac{1}{2}$（∠ABC+∠ACB），
又∵∠ABC+∠ACB=180°-∠A，
∴∠1+∠2=$\frac{1}{2}$（180°-∠A）=90°-$\frac{1}{2}$∠A，
∴∠BOC=180°-（∠1+∠2），
=180°-（90°-$\frac{1}{2}$∠A），
=90°+$\frac{1}{2}$∠A；
探究2結(jié)論：∠BOC=$\frac{1}{2}$∠A，
理由如下：
∵BO和CO分別是∠ABC和∠ACD的角平分線，
∴∠1=$\frac{1}{2}$∠ABC，∠2=$\frac{1}{2}$∠ACD，
又∵∠ACD是△ABC的一外角，
∴∠ACD=∠A+∠ABC，
∴∠2=$\frac{1}{2}$（∠A+∠ABC）=$\frac{1}{2}$∠A+∠1，
∵∠2是△BOC的一外角，
∴∠BOC=∠2-∠1=$\frac{1}{2}$∠A+∠1-∠1=$\frac{1}{2}$∠A；
探究3結(jié)論：∠BOC=90°-$\frac{1}{2}$∠A． 
理由：∵∠OBC=$\frac{1}{2}$（∠A+∠ACB），∠OCB=$\frac{1}{2}$（∠A+∠ABC），
∴∠BOC=180°-∠0BC-∠OCB，
=180°-$\frac{1}{2}$（∠A+∠ACB）-$\frac{1}{2}$（∠A+∠ABC），
=180°-$\frac{1}{2}$∠A-$\frac{1}{2}$（∠A+∠ABC+∠ACB），
∴∠BOC=90°-$\frac{1}{2}$∠A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了三角形的外角性質(zhì)與內(nèi)角和定理，熟記三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和是解題的關(guān)鍵，讀懂題目提供的信息，然后利用提供信息的思路也很重要．