Question

6．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于點D，CE是△ABC的中線，∠BCD=22.5°．
（1）求∠CED的度數；
（2）若CD=1，求△ABC的面積．

Answer 1

分析 （1）先根據CD⊥AB于點D得出∠CDB=90°，由∠BCD=22.5°即可得出∠B的度數，根據在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CE是△ABC的中線可知CE=AE=BE，故可得出∠BCE=∠B，根據三角形內角和定理即可得出∠CED的度數；
（2）由（1）可知∠CED=45°，故可得出△CED是等腰直角三角形，根據勾股定理可得出CE的長，進而得出AB的長，根據三角形的面積公式即可得出結論．

解答 解：（1）∵CD⊥AB于點D，
∴∠CDB=90°．
∵∠BCD=22.5°，
∴∠B的度數=67.5°．
在Rt△ABC中，
∵∠ACB=90°，CE是△ABC的中線，
∴CE=AE=BE，
∴∠BCE=∠B=67.5°，
∴∠CED=180°-2×67.5°=45°；

（2）∵由（1）可知∠CED=45°，
∴△CED是等腰直角三角形，
∴DE=CD=1，
∴CE=$\sqrt{{1}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{2}$，
∴AB=2CE=2$\sqrt{2}$，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$AB•CD=$\frac{1}{2}$×2$\sqrt{2}$×1=$\sqrt{2}$．

點評 本題考查的是三角形內角和定理，熟知三角形內角和是180°是解答此題的關鍵．