Question

18．數(shù)學活動課上，老師提出這樣一個問題：如果AB=BC，∠ABC=60°，∠APC=30°，連接PB，那么PA、PB、PC之間會有怎樣的等量關(guān)系呢？經(jīng)過思考后，部分同學進行了如下的交流：
小蕾：我將圖形進行了特殊化，讓點P在BA延長線上（如圖1），得到了一個猜想：PA²+PC²=PB²．
小東：我假設(shè)點P在∠ABC的內(nèi)部，根據(jù)題目條件，這個圖形具有“共端點等線段”的特點，可以利用旋轉(zhuǎn)解決問題，旋轉(zhuǎn)△PAB后得到△P′CB，并且可推出△PBP′，△PCP′分別是等邊三角形、直角三角形，就能得到猜想和證明方法．
這時老師對同學們說，請大家完成以下問題：
（1）如圖2，點P在∠ABC的內(nèi)部，
①PA=4，PC=$2\sqrt{3}$，PB=2$\sqrt{7}$．
②用等式表示PA、PB、PC之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．
（2）對于點P的其他位置，是否始終具有②中的結(jié)論？若是，請證明；若不是，請舉例說明．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)結(jié)論代入即可填寫；
（2）根據(jù)△ABP≌△CBP′得出PA=P′C，∠A=∠BCP′，即可得出PA、PB、PC之間的數(shù)量關(guān)系；
（3）當點P在CB的延長線上時，得出PA²+PB²=PC²．

解答 解：（1）①PB=$\sqrt{P{A}^{2}+P{C}^{2}}=\sqrt{{4}^{2}+（2\sqrt{3}）^{2}}$=$2\sqrt{7}$．
故答案為：$2\sqrt{7}$；
②PA²+PC²=PB²，
證明：作∠PBP′=∠ABC=60°，且使BP′=BP，連接P′C、P′P，如圖1：

∵∠ABC=PBP′
∴∠ABP=∠CBP′，
∵AB=CB，
在△ABP與△CBP′中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=BC}\\{∠ABP=∠CBP'}\\{BP=BP'}\end{array}\right.$，
∴△ABP≌△CBP′，
∴PA=P′C，∠A=∠BCP′，
在四邊形ABCP中，
∵∠ABC=60°，∠APC=30°，
∴∠A+∠BCP=270°，
∴∠BCP′+∠BCP=270°，
∴∠PCP′=360°-（∠BCP′+∠BCP）=90°，
∵△PBP′是等邊三角形，
∴PP′=PB，
在Rt△PCP′中，P'C²+PC²=P'P²，
∴PA²+PC²=PB²；
（2）點P在其他位置時，不是始終具有②中猜想的結(jié)論，舉例：
如圖2，當點P在CB的延長線上時，

結(jié)論為PA²+PB²=PC²．

點評 本題考查了幾何變換問題，本題的關(guān)鍵是熟練掌握全等三角形的判定定理以及三角形全等的性質(zhì)．