Question

17．如圖，已知拋物線y=-x²+bx+c與x軸交于A（-1，0）、B（3，0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，拋物線的對(duì)稱軸與拋物線交于點(diǎn)P、與直線BC相交于點(diǎn)M，連接PB．
（1）求該拋物線的解析式；
（2）在（1）中位于第一象限內(nèi)的拋物線上是否存在點(diǎn)D，使得△BCD的面積最大？若存在，求出D點(diǎn)坐標(biāo)及△BCD面積的最大值；若不存在，請(qǐng)說明理由．
（3）在（1）中的拋物線上是否存在點(diǎn)Q，使得△QMB與△PMB的面積相等？若存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析 （1）把A（-1，0）、B（3，0）兩點(diǎn)代入y=-x²+bx+c即可求出拋物線的解析式，
（2）設(shè)D（t，-t²+2t+3），過點(diǎn)D作DH⊥x軸，根據(jù)S_△BCD=S_梯形OCDH+S_△BDH-S_△BOC=-$\frac{3}{2}$t²+$\frac{9}{2}$t，即可求出D點(diǎn)坐標(biāo)及△BCD面積的最大值，
（3）設(shè)過點(diǎn)P與BC平行的直線與拋物線的交點(diǎn)為Q，根據(jù)直線BC的解析式為y=-x+3，過點(diǎn)P與BC平行的直線為y=-x+5，得Q的坐標(biāo)為（2，3），根據(jù)PM的解析式為：x=1，直線BC的解析式為y=-x+3，得M的坐標(biāo)為（1，2），設(shè)PM與x軸交于點(diǎn)E，求出過點(diǎn)E與BC平行的直線為y=-x+1，根據(jù)$\left\{\begin{array}{l}{y=-x+1}\\{y=-{x}^{2}+2x+3}\end{array}\right.$得點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（$\frac{3+\sqrt{17}}{2}$，-$\frac{1+\sqrt{17}}{2}$），（$\frac{3-\sqrt{17}}{2}$，-$\frac{1-\sqrt{17}}{2}$）．

解答 解：（1）由$\left\{\begin{array}{l}{-1-b+c=0}\\{-9+3b+c=0}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{b=2}\\{c=3}\end{array}\right.$，則拋物線的解析式為y=-x²+2x+3，

（2）設(shè)D（t，-t²+2t+3），過點(diǎn)D作DH⊥x軸，
則S_△BCD=S_梯形OCDH+S_△BDH-S_△BOC=$\frac{1}{2}$（-t²+2t+3+3）t+$\frac{1}{2}$（3-t）（-t²+2t+3）-$\frac{1}{2}$×3×3=-$\frac{3}{2}$t²+$\frac{9}{2}$t，
∵-$\frac{3}{2}$＜0，
∴當(dāng)t=-$\frac{\frac{9}{2}}{2×（-\frac{3}{2}）}$=$\frac{3}{2}$時(shí)，D點(diǎn)坐標(biāo)是（$\frac{3}{2}$，$\frac{15}{4}$），△BCD面積的最大值是$\frac{27}{8}$；

（3）設(shè)過點(diǎn)P與BC平行的直線與拋物線的交點(diǎn)為Q，
∵P點(diǎn)的坐標(biāo)為（1，4），直線BC的解析式為y=-x+3，
∴過點(diǎn)P與BC平行的直線為y=-x+5，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=-x+5}\\{y=-{x}^{2}+2x+3}\end{array}\right.$得Q的坐標(biāo)為（2，3），
∵PM的解析式為x=1，直線BC的解析式為y=-x+3，
∴M的坐標(biāo)為（1，2），
設(shè)PM與x軸交于點(diǎn)E，
∵PM=EM=2，
∴過點(diǎn)E與BC平行的直線為y=-x+1，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=-x+1}\\{y=-{x}^{2}+2x+3}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{3+\sqrt{17}}{2}}\\{y=-\frac{1+\sqrt{17}}{2}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{3-\sqrt{17}}{2}}\\{y=-\frac{1-\sqrt{17}}{2}}\end{array}\right.$，
∴點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（$\frac{3+\sqrt{17}}{2}$，-$\frac{1+\sqrt{17}}{2}$），（$\frac{3-\sqrt{17}}{2}$，-$\frac{1-\sqrt{17}}{2}$），
∴使得△QMB與△PMB的面積相等的點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（2，3），（$\frac{3+\sqrt{17}}{2}$，-$\frac{1+\sqrt{17}}{2}$），（$\frac{3-\sqrt{17}}{2}$，-$\frac{1-\sqrt{17}}{2}$）．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了二次函數(shù)綜合，用到的知識(shí)點(diǎn)是二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、三角形梯形的面積、直線與拋物線的交點(diǎn)，關(guān)鍵是作出輔助線，求出符合條件的所有點(diǎn)的坐標(biāo)．