Question

19．如圖，一個半徑為1的⊙O₁經(jīng)過一個半徑為$\sqrt{2}$的⊙O的圓心，則圖中陰影部分的面積為（　�。�

• A． 1
• B． $\frac{1}{2}$
• C． $\sqrt{2}$
• D． $\frac{{\sqrt{2}}}{2}$

Answer 1

分析 連接OA，OB，OO₁，求出∠AOB=90°，進而利用S_陰影部分=S_半圓AB-S_弓形AB=S_半圓AB-（S_扇形OAB-S_△OAB）=S_半圓AB-S_扇形OAB+S_△OAB求出答案即可．

解答 解：如圖，⊙O的半徑為$\sqrt{2}$，⊙O₁的半徑為1，點O在⊙O₁上，連接OA，OB，OO₁，
∵OA=$\sqrt{2}$，O₁A=O₁O=1，則有（$\sqrt{2}$）²=1²+1²，
∴OA²=O₁A²+O₁O²，
∴△OO₁A為直角三角形，
∴∠AOO₁=45°，同理可得∠BOO₁=45°，
∴∠AOB=90°，
∴AB為⊙O₁的直徑．
∴S_陰影部分=S_半圓AB-S_弓形AB=S_半圓AB-（S_扇形OAB-S_△OAB）=S_半圓AB-S_扇形OAB+S_△OAB=$\frac{1}{2}$π×1²-$\frac{90π×2}{360}$+$\frac{1}{2}$×$\sqrt{2}$×$\sqrt{2}$=1．
故選A．

點評 本題主要考查了相交兩圓的性質(zhì)以及扇形面積的計算，解題的關(guān)鍵是正確作出輔助線，此題有一定的難度．