Question

13．（1）先閱讀，再填空：
（x+5）（x+6）=x²+11x+30；
（x-5）（x-6）=x²-11x+30；
（x-5）（x+6）=x²+x-30；
（x+5）（x-6）=x²-x-30．
觀察上面的算式，根據(jù)規(guī)律，直接寫出下列各式的結(jié)果：
（a+90）（a-100）=a²-10a-9000；        （y-80）（y-90）=y²-170y+7200．
（2）先閱讀，再填空：（x-1）（x+1）=x²-1；（x-1）（x²+x+1）=x³-1；（x-1）（x³+x²+x+1）=x⁴-1；（x-1）（x⁴+x³+x²+x+1）=x⁵-1．
觀察上面各式：①由此歸納出一般性規(guī)律：（x-1）（x^n-1+x^n-2+x^n-3+…+x²+x+1）=xⁿ-1；
②根據(jù)①直接寫出1+3+3²+…+3⁶⁷+3⁶⁸的結(jié)果$\frac{{3}^{69}-1}{2}$．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)（x+p）（x+q）=x²+（p+q）x+pq可得；
（2）①由已知等式可得（x-1）（x^n-1+x^n-2+x^n-3+…+x²+x+1）=xⁿ-1；②將原式變形為$\frac{1}{2}$×（3-1）×（1+3+3²+…+3⁶⁷+3⁶⁸），再利用①中所得規(guī)律求解可得．

解答 解：（1）∵（x+5）（x+6）=x²+（5+6）x+5×6=x²+11x+30；
（x-5）（x-6）=x²+（-5-6）x+（-5）×（-6）=x²-11x+30；
（x-5）（x+6）=x²+（-5+6）x+（-5）×6=x²+x-30；
（x+5）（x-6）=x²+（5-6）x+5×（-6）=x²-x-30，
∴（a+90）（a-100）=a²+（90-100）a+90×（-100）=a²-10a-9000，
（y-80）（y-90）=y²+（-80-90）y+（-80）×（-90）=y²-170y+7200，
故答案為：a²-10a-9000，y²-170y+7200．

（2）①由題意知，（x-1）（x^n-1+x^n-2+x^n-3+…+x²+x+1）=xⁿ-1，
故答案為：xⁿ-1；
②原式=$\frac{1}{2}$×（3-1）×（1+3+3²+…+3⁶⁷+3⁶⁸）=$\frac{1}{2}$×（3⁶⁹-1），
故答案為：$\frac{{3}^{69}-1}{2}$．

點評 本題主要考查數(shù)字的變化規(guī)律，根據(jù)已知等式得出一般規(guī)律是解題的關(guān)鍵．