Question

15．如圖，∠MAN=60°，AP平分∠MAN，點(diǎn)B是射線AP上一定點(diǎn)，點(diǎn)C在直線AN上運(yùn)動(dòng)，連接BC，將∠ABC（0°＜∠ABC＜120°）的兩邊射線BC和BA分別繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°，旋轉(zhuǎn)后角的兩邊分別與射線AM交于點(diǎn)D和點(diǎn)E．

（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)C在射線AN上時(shí)，
①請判斷線段BC與BD的數(shù)量關(guān)系，直接寫出結(jié)論；
②請?zhí)骄烤�段AC，AD和BE之間的數(shù)量關(guān)系，寫出結(jié)論并證明；
（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)C在射線AN的反向延長線上時(shí)，BC交射線AM于點(diǎn)F，若AB=4，AC=$\sqrt{3}$，請直接寫出線段AD和DF的長．

Answer 1

分析 （1）①結(jié)論：BC=BD．只要證明△BGD≌△BHC即可．②結(jié)論：AD+AC=$\sqrt{3}$BE．只要證明AD+AC=2AG=2EG，再證明EB=$\frac{\sqrt{3}}{2}$BE即可解決問題；
（2）如圖2中，作BG⊥AM于G，BH⊥AN于H，AK⊥CF于K．由（1）可知，△ABG≌△ABH，△BGD≌△BHC，易知BH=GB=2，AH=AG=EG=2$\sqrt{3}$，BC=BD=$\sqrt{B{H}^{2}+C{H}^{2}}$=$\sqrt{31}$，CH=DG=3$\sqrt{3}$，推出AD=5$\sqrt{3}$，由sin∠ACH=$\frac{AK}{AC}$=$\frac{BH}{BC}$，推出$\frac{AK}{\sqrt{3}}$=$\frac{2}{\sqrt{31}}$，可得AK=$\frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{31}}$，設(shè)FG=y，則AF=2$\sqrt{3}$-y，BF=$\sqrt{4+{y}^{2}}$，由△AFK∽△BFG，可得$\frac{AF}{BF}$=$\frac{AK}{BG}$，可得方程$\frac{2\sqrt{3}-y}{\sqrt{4+{y}^{2}}}$=$\frac{\frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{31}}}{2}$，求出y即可解決問題．

解答 解：（1）①結(jié)論：BC=BD．
理由：如圖1中，作BG⊥AM于G，BH⊥AN于H．

∵∠MAN=60°，PA平分∠MAN，BG⊥AM于G，BH⊥AN于H
∴BG=BH，∠GBH=∠CBD=120°，
∴∠CBH=∠GBD，∵∠BGD=∠BHC=90°，
∴△BGD≌△BHC，
∴BD=BC．

②結(jié)論：AD+AC=$\sqrt{3}$BE．
∵∠ABE=120°，∠BAE=30°，
∴∠BEA=∠BAE=30°，
∴BA=BE，∵BG⊥AE，
∴AG=GE，EG=BE•cos30°=$\frac{\sqrt{3}}{2}$BE，
∵△BGD≌△BHC，
∴DG=CH，
∵AB=AB，BG=BH，
∴Rt△ABG≌Rt△ABH，
∴AG=AH，
∴AD+AC=AG+DG+AH-CH=2AG=$\sqrt{3}$BE，
∴AD+AC=$\sqrt{3}$BE．

（2）如圖2中，作BG⊥AM于G，BH⊥AN于H，AK⊥CF于K．

由（1）可知，△ABG≌△ABH，△BGD≌△BHC，
易知BH=GB=2，AH=AG=EG=2$\sqrt{3}$，BC=BD=$\sqrt{B{H}^{2}+C{H}^{2}}$=$\sqrt{31}$，CH=DG=3$\sqrt{3}$，
∴AD=5$\sqrt{3}$，
∵sin∠ACH=$\frac{AK}{AC}$=$\frac{BH}{BC}$，
∴$\frac{AK}{\sqrt{3}}$=$\frac{2}{\sqrt{31}}$，
∴AK=$\frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{31}}$，設(shè)FG=y，則AF=2$\sqrt{3}$-y，BF=$\sqrt{4+{y}^{2}}$，
∵∠AFK=∠BFG，∠AKF=∠BGF=90°，
∴△AFK∽△BFG，
∴$\frac{AF}{BF}$=$\frac{AK}{BG}$，
∴$\frac{2\sqrt{3}-y}{\sqrt{4+{y}^{2}}}$=$\frac{\frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{31}}}{2}$，
解得y=$\frac{10\sqrt{3}}{7}$或3$\sqrt{10}$（舍棄），
∴DF=GF+DG=$\frac{10\sqrt{3}}{7}$+3$\sqrt{3}$=$\frac{31\sqrt{3}}{7}$．

點(diǎn)評 本題考查幾何變換綜合題、全等三角形的判定和性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)、銳角三角函數(shù)等知識，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識解決問題，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題，屬于中考壓軸題．