Question

7．如圖1，矩形ABCD，AB=3，BC=4，E，F(xiàn)分別在AB，BC邊上，且EF∥AC；將△BEF沿EF折疊，得△B'EF，設(shè)BE=x．
探究（一）
（1）x=$\frac{3}{2}$時，點B'落在AC上，此時折痕EF=$\frac{5}{2}$；
（2）x=$\frac{75}{32}$時，點B'落在AD上．
探究（二）
當(dāng)點B落在矩形區(qū)域上（含邊界），設(shè)△B'EF的面積為S．
求S與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并求出S的最大值．

Answer 1

分析 探究一：（1）只要證明EF是△ABC的中位線即可；
（2）如圖2中，設(shè)BB′交EF于O，交AC于K．由△ABK∽△B′BA，推出$\frac{BK}{BA}$=$\frac{AB}{BB′}$，推出BB′=$\frac{15}{4}$，推出OB=OB′=$\frac{15}{8}$，由△BOE∽△BKA，可得$\frac{BO}{BK}$=$\frac{BE}{BA}$，可得BE=$\frac{75}{32}$；
探究二：由EF∥AC，可得$\frac{BE}{BA}$=$\frac{BF}{AC}$，推出BF=$\frac{4}{3}$x，當(dāng)B′在AD上時，△EFB′的面積最大；

解答 解：探究（一）：
（1）如圖1中，設(shè)EF交BB′于O．

∵B、B′關(guān)于EF對稱，
∴EF垂直平分BB′，
∴OB=OB′，
∵EF∥AC，
∴BE=AE=$\frac{3}{2}$，BF=FC，
∴EF=$\frac{1}{2}$AC，易知AC=5，
∴EF=$\frac{5}{2}$．
故答案為$\frac{3}{2}$，$\frac{5}{2}$．

（2）如圖2中，設(shè)BB′交EF于O，交AC于K．

∵$\frac{1}{2}$•AC•BK=$\frac{1}{2}$•AB•BC，
∴BK=$\frac{12}{5}$，
∵△ABK∽△B′BA，
∴$\frac{BK}{BA}$=$\frac{AB}{BB′}$，
∴BB′=$\frac{15}{4}$，
∴OB=OB′=$\frac{15}{8}$，
∵△BOE∽△BKA，
∴$\frac{BO}{BK}$=$\frac{BE}{BA}$，
∴BE=$\frac{75}{32}$．
故答案為$\frac{75}{32}$．

探究（二）
∵EF∥AC，
∴$\frac{BE}{BA}$=$\frac{BF}{AC}$，
∴BF=$\frac{4}{3}$x，
∴S=$\frac{1}{2}$•x•$\frac{4}{3}$x=$\frac{2}{3}$x²（0＜x≤$\frac{75}{32}$），
當(dāng)x=$\frac{75}{32}$時，S的值最大，最大值為$\frac{1875}{512}$．

點評 本題考查翻折變換、矩形的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)、平行線的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是靈活運用所學(xué)知識解決問題．