Question

19．已知關(guān)于x的-元二次方程x²+（4m+1）x+2m-1=0．
（1）求證：該方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；
（2）設(shè)該方程的兩個(gè)根為x₁，x₂，是否存在實(shí)數(shù)m，使x₁=2x₂？

Answer 1

分析 （1）要證明方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，那么只要證明△＞0即可．
（2）根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系可知x₁+x₂=-（4m+1），結(jié)合x₁x₂=2m-1，由x₁=2x₂得到方程，求出m的值即可．

解答 （1）證明：△=（4m+1）²-4（2m-1）
=16m²+8m+1-8m+4=16m²+5＞0，
∴不論m為任何實(shí)數(shù)，方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．
（2）∵該方程的兩個(gè)根為x₁，x₂，
∴x₁+x₂=-（4m+1），x₁x₂=2m-1，
∵x₁=2x₂，
∴-$\frac{1}{3}$（4m+1）=$\sqrt{\frac{2m-1}{2}}$
則32m²-2m+11=0，
此方程無解．
不存在實(shí)數(shù)m，使x₁=2x₂．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了一元二次方程根的情況與判別式△的關(guān)系：（1）△＞0?方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；（2）△=0?方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；（3）△＜0?方程沒有實(shí)數(shù)根．以及根與系數(shù)的關(guān)系．