Question

13．在⊙O中，圓的半徑為6，∠B=30°，AC是⊙O的切線，則CD的最小值是（　�。�

• A． 1
• B． 3
• C． $\sqrt{3}$
• D． 2

Answer 1

分析 由于∠B=30°，則AD的長(zhǎng)為定值，所以當(dāng)DC與AC垂直時(shí)，CD最小，作直徑AE，連結(jié)DE，過點(diǎn)D作DC′垂直切線于C′，交⊙O于B′，如圖，先根據(jù)圓周角定理得到∠ADE=90°，∠E=∠B=30°，則∠EAD=60°，再在Rt△ADE中，利用含30度的直角三角形三邊的關(guān)系得到AD=$\frac{1}{2}$AE=6，接著根據(jù)切線的性質(zhì)得∠OAC=90°，則∠CAD=30°，然后在Rt△DAC′中計(jì)算出DC′=$\frac{1}{2}$AD=3，于是可判斷CD的最小值為3．

解答 解：作直徑AE，連結(jié)DE，過點(diǎn)D作DC′垂直切線于C′，交⊙O于B′，如圖，
∵AE為直徑，
∴∠ADE=90°，
∵∠E=∠B=30°，
∴∠EAD=60°，
在Rt△ADE中，AD=$\frac{1}{2}$AE=6，
∵AC是⊙O的切線，
∴OA⊥AC，
∴∠OAC=90°，
∴∠CAD=90°-60°=30°，
在Rt△DAC′中，∵∠DAC′=30°，
∴DC′=$\frac{1}{2}$AD=3，
∴當(dāng)點(diǎn)C在C′點(diǎn)時(shí)，CD有最小值，最小值為3．
故選B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了切線的性質(zhì)：圓的切線垂直于經(jīng)過切點(diǎn)的半徑；經(jīng)過圓心且垂直于切線的直線必經(jīng)過切點(diǎn)；經(jīng)過切點(diǎn)且垂直于切線的直線必經(jīng)過圓心．運(yùn)用切線的性質(zhì)來進(jìn)行計(jì)算或論證，常通過作輔助線連接圓心和切點(diǎn)，利用垂直構(gòu)造直角三角形解決有關(guān)問題．也考查了含30度的直角三角形三邊的關(guān)系．