Question

18．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A在第一象限且在直線y=$\frac{4}{3}$x上，點(diǎn)B為線段OA的中點(diǎn)，過點(diǎn)A作y軸的垂線，點(diǎn)D是線段AC的延長線上的一點(diǎn)，連接BD．若∠OBD=3∠D，且CD=5，則直線BD的解析式為y=-$\frac{1}{2}$x+$\frac{11}{2}$．

Answer 1

分析 由∠OBD=3∠D結(jié)合外角的性質(zhì)可得出∠A=2∠D，連接BC，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于底邊的一半可得出BC=BA=BO，由等邊對等角可得出∠A=∠BCA，結(jié)合三角形外角的性質(zhì)可得出∠D=∠DBC，進(jìn)而可得出BC=CD=5，由點(diǎn)A在第一象限且在直線y=$\frac{4}{3}$x上，設(shè)出點(diǎn)A的坐標(biāo)為（x，$\frac{4}{3}$x），利用勾股定理可求出x值，進(jìn)而得出點(diǎn)A的坐標(biāo)，結(jié)合點(diǎn)B為線段OA的中點(diǎn)以及AC⊥y軸，可得出點(diǎn)B、D的坐標(biāo)，再根據(jù)點(diǎn)B、D的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法可求出直線BD的解析式．

解答 解：∵∠OBD=∠D+∠A，∠OBD=3∠A，
∴∠A=2∠D．
連接BC，如圖所示．
∵△OAC為直角三角形，點(diǎn)B為線段OA的中點(diǎn)，
∴BC=BA=BO，
∴∠A=∠BCA．
∵∠BCA=∠D+∠DBC，
∴∠D=∠DBC，
∴CB=CD=5，OA=2BC=10．
設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為（x，$\frac{4}{3}$x），則AC=x，OC=$\frac{4}{3}$x，
∵OA²=OC²+AC²，即10²=x²+（$\frac{4}{3}$x）²，
解得：x=6或x=-6（舍去），
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（6，8），
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3，4），點(diǎn)D的坐標(biāo)為（-5，8）．
設(shè)直線BD的解析式為y=kx+b，
將點(diǎn)B（3，4）、D（-5，8）代入y=kx+b，
$\left\{\begin{array}{l}{3k+b=4}\\{-5k+b=8}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{1}{2}}\\{b=\frac{11}{2}}\end{array}\right.$，
∴直線BD的解析式為y=-$\frac{1}{2}$x+$\frac{11}{2}$．
故答案為：y=-$\frac{1}{2}$x+$\frac{11}{2}$．

點(diǎn)評 本題考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式、一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、等腰三角形的性質(zhì)、勾股定理、直角三角形的性質(zhì)以及三角形外角的性質(zhì)，利用勾股定理求出點(diǎn)A的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵．