Question

19．設(shè)△ABC的面積為1．
如圖1，分別將AC，BC邊2等分，D₁，E₁是其分點，連接AE₁，BD₁交于點F₁，得到四邊形CD₁F₁E₁，其面積S₁=$\frac{1}{3}$．
如圖2，分別將AC，BC邊3等分，D₁，D₂，E₁，E₂是其分點，連接AE₂，BD₂交于點F₂，得到四邊形CD₂F₂E₂，其面積S₂=$\frac{1}{6}$；
如圖3，分別將AC，BC邊4等分，D₁，D₂，D₃，E₁，E₂，E₃是其分點，連接AE₃，BD₃交于點F₃，得到四邊形CD₃F₃E₃，其面積S₃=$\frac{1}{10}$；
…
按照這個規(guī)律進行下去，若分別將AC，BC邊（n+1）等分，…，得到四邊形CD_nF_nE_n，其面積S_n=$\frac{2}{（n+1）（n+2）}$．

Answer 1

分析 先連接D₁E₁，D₂E₂，D₃E₃，依據(jù)D₁E₁∥AB，D₁E₁=$\frac{1}{2}$AB，可得△CD₁E₁∽△CBA，且$\frac{{D}_{1}{E}_{1}}{B{F}_{1}}$=$\frac{{D}_{1}{E}_{1}}{AB}$=$\frac{1}{2}$，根據(jù)相似三角形的面積之比等于相似比的平方，即可得到S_△CD1E1=$\frac{1}{4}$S_△ABC=$\frac{1}{4}$，依據(jù)E₁是BC的中點，即可得出S_△D1E1F1=$\frac{1}{3}$S_△BD1E1=$\frac{1}{3}$×$\frac{1}{4}$=$\frac{1}{12}$，據(jù)此可得S₁=$\frac{1}{3}$；運用相同的方法，依次可得S₂=$\frac{1}{6}$，S₂=$\frac{1}{6}$；根據(jù)所得規(guī)律，即可得出四邊形CD_nE_nF_n，其面積S_n=$\frac{1}{（n+1）^{2}}$+$\frac{1}{（n+1）^{2}}$×n×$\frac{1}{1+n+1}$，最后化簡即可．

解答 解：如圖所示，連接D₁E₁，D₂E₂，D₃E₃，
∵圖1中，D₁，E₁是△ABC兩邊的中點，
∴D₁E₁∥AB，D₁E₁=$\frac{1}{2}$AB，
∴△CD₁E₁∽△CBA，且$\frac{{D}_{1}{E}_{1}}{B{F}_{1}}$=$\frac{{D}_{1}{E}_{1}}{AB}$=$\frac{1}{2}$，
∴S_△CD1E1=$\frac{1}{4}$S_△ABC=$\frac{1}{4}$，
∵E₁是BC的中點，
∴S_△BD1E1=S_△CD1E1=$\frac{1}{4}$，
∴S_△D1E1F1=$\frac{1}{3}$S_△BD1E1=$\frac{1}{3}$×$\frac{1}{4}$=$\frac{1}{12}$，
∴S₁=S_△CD1E1+S_△D1E1F1=$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{12}$=$\frac{1}{3}$，
同理可得：
圖2中，S₂=S_△CD2E2+S_△D2E2F2=$\frac{1}{9}$+$\frac{1}{18}$=$\frac{1}{6}$，
圖3中，S₃=S_△CD3E3+S_△D3E3F3=$\frac{1}{16}$+$\frac{3}{80}$=$\frac{1}{10}$，
以此類推，將AC，BC邊（n+1）等分，得到四邊形CD_nE_nF_n，
其面積S_n=$\frac{1}{（n+1）^{2}}$+$\frac{1}{（n+1）^{2}}$×n×$\frac{1}{1+n+1}$=$\frac{2}{（n+1）（n+2）}$，
故答案為：$\frac{2}{（n+1）（n+2）}$．

點評 本題主要考查了圖形的變化類問題以及三角形面積的計算，解決問題的關(guān)鍵作輔助線構(gòu)造相似三角形，依據(jù)相似三角形的性質(zhì)進行計算求解．解題時注意：相似三角形的面積之比等于相似比的平方．