Question

13．在△ABC中，∠ACB為銳角，點D為BC所在直線上一點，連結(jié)AD，以AD為邊，在AD的右側(cè)作正方形ADEF．
（1）如果AB=AC，∠BAC=90°，
①當點D在線段BC上時（與點B不重合），如圖1，線段CF、BD所在直線的關(guān)系為CF⊥BD；
②當點D在線段BC的延長線上時，如圖2，①中的結(jié)論是否成立，并說明理由；
（2）如果AB≠AC，∠BAC是銳角，點D在線段BC上，當∠ACB滿足什么條件時，CF⊥BC（點C、F不重合），并說明理由． 
（3）在（2）的條件下，若AC=$\sqrt{2}$m，設(shè)正方形ADEF的邊DE與線段CF相交于點P，當線段CP長的最大時，求CD的值．

Answer 1

分析 （1）①證明△ABD≌△ACF，即可證明∠ACF=∠B，從而證得CF⊥BD；
②與①相同，證明△DAB≌△FAC，證明∠ACF=∠B，從而證得CF⊥BD；
（2）過點A作AG⊥AC交CB或CB的延長線于點G，（1）①可知CF⊥BD；
（3）作AG⊥BC于G，證明△ADQ∽△DPC，根據(jù)相似三角形的對應邊的比相等，即可求解．

解答 解：（1）①垂直．
理由是：∵∠BAC=∠DAF=90°，
∴∠BAD=∠CAF，
則在△ABD和△ACF中，$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠BAD=∠CAF}\\{AD=AF}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△ACF，
∴∠ACF=∠B，
又∵在直角△ABC中，∠B+∠ACB=90°，
∴∠ACF+∠ACB=90°，即∠BCF=90°，
∴CF⊥BC．
故答案是：CF⊥BC；
②當點D在BC的延長線上時①的結(jié)論仍成立．
證明：如圖，由正方形ADEF得：

AD=AF，∠DAF=90°．
∵∠BAC=90°，
∴∠DAF=∠BAC，
∴∠DAB=∠FAC，
又AB=AC，
在△ABD和△ACF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠BAD=∠CAF}\\{AD=AF}\end{array}\right.$，
∴△DAB≌△FAC，
∴CF=BD，∠ACF=∠ABD．
∵∠BAC=90°，AB=AC，
∴∠ABC=45°，
∴∠ACF=45°，
∴∠BCF=∠ACB+∠ACF=90°．
即 CF⊥BD．
（2）當∠ACB=45°時，CF⊥BD（如圖3）．

理由：過點A作AG⊥AC交CB或CB的延長線于點G，
則∠GAC=90°，
∵∠ACB=45°，
∠AGC=90°-∠ACB=45°，
∴∠ACB=∠AGC，
∴AC=AG，
∵點D在線段BC上，
∴點D在線段GC上，由（1）①可知CF⊥BD．
（3）如圖4：作AG⊥BC于G．

∵∠ACB=45° AC=$\sqrt{2}$m
∴CQ=AQ=m，
∵∠PCD=∠ADP=90°
∴∠ADQ+∠CDP=∠CDP+∠CPD=90°
∴△ADQ∽△DPC，
∴$\frac{PC}{DG}=\frac{CD}{AG}$
設(shè)CD為x則DG=CG-CD=m-x  則$\frac{PC}{m-x}=\frac{x}{m}$
∴PC=$\frac{1}{m}（-{x^2}+mx）=-\frac{1}{m}{（x-\frac{m}{2}）^2}+\frac{m}{4}$
∴當x=$\frac{m}{2}$時，PC最長，此時PC=$\frac{m}{4}$，
即PC最長時，CD的長為$\frac{m}{2}$．

點評 本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)以相似三角形的判定與性質(zhì)，正確作出輔助線，理解每個小題之間的聯(lián)系是關(guān)鍵．