Question

8．如圖，一個(gè)邊長為a的等邊三角形ABC的高與⊙O的直徑相等，⊙O與BC相切于點(diǎn)C，⊙O與AC相交于點(diǎn)E，則AE：EC的值為（　�。�

• A． $\frac{\sqrt{3}}{3}$
• B． $\frac{1}{2}$
• C． $\frac{1}{3}$
• D． $\frac{1}{4}$

Answer 1

分析 連接OC，并過點(diǎn)O作OF⊥CE于F，求出等邊三角形的高即可得出圓的直徑，繼而得出OC的長度，在Rt△OFC中，可得出FC的長，利用垂徑定理即可得出CE的長，則可求得AE的長，可求得答案．

解答 解：連接OC，并過點(diǎn)O作OF⊥CE于F，
∵△ABC為等邊三角形，邊長為a，
∴△ABC的高為$\frac{\sqrt{3}}{2}$a，
∴OC=$\frac{\sqrt{3}}{4}$a，
又∵∠ACB=60°，
∴∠OCF=30°，
在Rt△OFC中，可得FC=$\frac{3}{8}$a，
即CE=2FC=$\frac{3}{4}$a，
∴AE=AC-CE=a-$\frac{3}{4}$a=$\frac{1}{4}$a，
AE：CE=$\frac{1}{4}$a：$\frac{3}{4}$a=1：3．
故選C．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了切線的性質(zhì)和等邊三角形的性質(zhì)和解直角三角形的有關(guān)知識(shí)，題目不是太難，屬于基礎(chǔ)性題目．