Question

3．已知拋物線：y₁=-$\frac{1}{2}x^2+2x$
（1）求拋物線y₁的頂點坐標．
（2）將拋物線y₁向右平移2個單位，再向上平移1個單位，得到拋物線y₂，求拋物線y₂的解析式．
（3）如圖，拋物線y₂的頂點為P，x軸上有一動點M，在y₁、y₂這兩條拋物線上是否存在點N，使O（原點）、P、M、N四點構(gòu)成以O(shè)P為一邊的平行四邊形？若存在，求出N點的坐標；若不存在，請說明理由．
[提示：拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）的對稱軸是x=-$\frac{2a}$頂點坐標是（-$\frac{2a}，\frac{4ac-b^2}{4a}$）]．

Answer 1

分析 （1）直接根據(jù)拋物線的頂點坐標公式即可得出結(jié)論；
（2）根據(jù)二次函數(shù)平移的性質(zhì)求出平移后的頂點坐標，進而可得出其解析式；
（3）先判斷出N所在的位置，再分點N在拋物線y₁上與點N在拋物線y₂上兩種情況進行討論．

解答 解：（1）∵依題意a=-$\frac{1}{2}$，b=，2c=0，
∴-$\frac{2a}$=-$\frac{2}{2×（-\frac{1}{2}）}$=2，$\frac{4ac-^{2}}{4a}$=$\frac{0-{2}^{2}}{4×（-\frac{1}{2}）}$=2，
∴頂點坐標是（2，2）；

（2）∵y₂解析式中的二次項系數(shù)為-$\frac{1}{2}$，且y₂的頂點坐標是（4，3）
∴y₂=-$\frac{1}{2}$（x-4）²+3，即：y₂=-$\frac{1}{2}$x²+4x-5；

（3）符合條件的N點存在
如圖：若四邊形OPMN為符合條件的平行四邊形，則OP∥MN，且OP=MN，∠POA=∠BMN，
作PA⊥x軸于點A，NB⊥x軸于點B，
∴∠PAO=∠MBN=90°，
在△POA與△NMB中，
∵$\left\{\begin{array}{l}∠POA=∠BMN\\∠PAO=∠MBN\\ OP=MN\end{array}\right.$，
∴△POA≌△NMB（AAS），
∴PA=BN．
∵點P的坐標為（4，3），
∴NB=PA=3，
∵點N在拋物線y₁、y₂上，且P點為y₁、y₂的最高點，
∴符合條件的N點只能在x軸下方
①點N在拋物線y₁上，則有：-$\frac{1}{2}$x²+2x=-3
解得：x=2-$\sqrt{10}$或x=2+$\sqrt{10}$，
②點N在拋物線y₂上，則有：-$\frac{1}{2}$（x-4）²+3=-3，
解得：x=4-2$\sqrt{3}$或x=4+2$\sqrt{3}$．
∴符合條件的N點有四個：N₁（2-$\sqrt{10}$，-3），N₂（4-2$\sqrt{3}$，-3），N₃（2+$\sqrt{10}$，-3），N₄（4+2$\sqrt{3}$，-3）．

點評 本題考查的是二次函數(shù)綜合題，涉及到二次函數(shù)圖象上點的坐標特點、平行四邊形的判定與性質(zhì)等知識，在解答（3）時要注意進行分類討論．