Question

9．如圖，△ABC中，AC=BC，∠C=90°，點D為AB的中點，點E在邊AC上，連接DE，過點D作DG⊥DE交BC于點G，∠EDG平分線DF交BC于F，連EF．求證：∠FED=∠AED．

Answer 1

分析 連接CD，根據(jù)ASA證明△AED≌△CGD，得到DE=DG，∠AED=∠FGD，再根據(jù)SAS證明△DFE≌△DFG，得到∠FED=∠FGD，即可證明∠FED=∠AED．

解答 證明：連接CD，
∵AC=BC，∠C=90°，點D為AB的中點，
∴AD=CD=BD，∠A=∠DCG=∠ACD=∠B=45°，∠CDA=∠CDB=90°，
∵DG⊥DE，
∴∠EDG=90°，
∴∠ADE=∠CDG，
在△AED和△CGD中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠A=∠DCG}\\{AD=CD}\\{∠ADE=∠CDG}\end{array}\right.$，
∴△AED≌△CGD（ASA），
∴DE=DG，∠AED=∠FGD，
∵∠EDG平分線DF交BC于F，
∴∠EDF=∠GDF，
在△DFE和△DFG中，
$\left\{\begin{array}{l}{DE=DG}\\{∠EDF=∠GDF}\\{DF=DF}\end{array}\right.$，
∴△DFE≌△DFG（SAS），
∴∠FED=∠FGD，
∴∠FED=∠AED．

點評 本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)和等腰直角三角形的性質(zhì)，熟練地掌握全等三角形的判定方法和等腰直角三角形的性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵．