Question

18．如圖，平行四邊形ABCD中，AD=9cm，CD=3$\sqrt{2}$cm，∠B=45°，點(diǎn)M、N分別以A、C為起點(diǎn)，1cm/秒的速度沿AD、CB邊運(yùn)動，設(shè)點(diǎn)M、N運(yùn)動的時間為t秒（0≤t≤6）
（1）求BC邊上高AE的長度；
（2）連接AN、CM，當(dāng)t為何值時，四邊形AMCN為菱形；
（3）作MP⊥BC于P，NQ⊥AD于Q，當(dāng)t為何值時，四邊形MPNQ為正方形．

Answer 1

分析 （1）先由平行四邊形的性質(zhì)得出AB=CD=3$\sqrt{2}$cm．再解直角△ABE，即可求出AE的長度；
（2）先證明四邊形AMCN為平行四邊形，則當(dāng)AN=AM時，四邊形AMCN為菱形．根據(jù)AN=AM列出方程3²+（6-t）²=t²，解方程即可；
（3）先證明四邊形MPNQ為矩形，則當(dāng)QM=QN時，四邊形MPNQ為正方形．根據(jù)QM=QN列出方程2t-6=3，解方程即可．

解答 解：（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB=CD=3$\sqrt{2}$cm．
在直角△ABE中，∵∠AEB=90°，∠B=45°，
∴AE=AB•sin∠B=3$\sqrt{2}$×$\frac{\sqrt{2}}{2}$=3（cm）；

（2）∵點(diǎn)M、N分別以A、C為起點(diǎn)，1cm/秒的速度沿AD、CB邊運(yùn)動，設(shè)點(diǎn)M、N運(yùn)動的時間為t秒（0≤t≤6），
∴AM=CN=t，
∵AM∥CN，
∴四邊形AMCN為平行四邊形，
∴當(dāng)AN=AM時，四邊形AMCN為菱形．
∵BE=AE=3，EN=6-t，
∴AN²=3²+（6-t）²，
∴3²+（6-t）²=t²，
解得t=$\frac{15}{4}$．
故當(dāng)t為$\frac{15}{4}$時，四邊形AMCN為菱形；

（3）∵M(jìn)P⊥BC于P，NQ⊥AD于Q，QM∥NP，
∴四邊形MPNQ為矩形，
∴當(dāng)QM=QN時，四邊形MPNQ為正方形．
∵AM=CN=t，BE=3，
∴AQ=EN=BC-BE-CN=9-3-t=6-t，
∴QM=AM-AQ=t-（6-t）=2t-6，
∵QN=AE=3，
∴2t-6=3，
解得t=4.5．
故當(dāng)t為4.5時，四邊形MPNQ為正方形．

點(diǎn)評 本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，解直角三角形，菱形的判定，正方形的判定，利用數(shù)形結(jié)合與方程思想是解題的關(guān)鍵．