Question

13．已知，BC∥OA，∠B=∠A=108°，試解答下列問題：
（1）如圖1所示，則∠O=72°，并判斷OB與AC平行嗎？為什么？
（2）如圖2，若點(diǎn)E、F在線段BC上，且滿足∠FOC=∠AOC，并且OE平分∠BOF．則∠EOC的度數(shù)等于40°；
（3）在第（2）題的條件下，若平行移動(dòng)AC，如圖3．
①求∠OCB：∠OFB的值；
②當(dāng)∠OEB=∠OCA時(shí)，求∠OCA的度數(shù)（直接寫出答案，不必寫出解答過程）．

Answer 1

分析 （1）首先根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠B+∠O=180°，再根據(jù)∠A=∠B可得∠A+∠O=180°，進(jìn)而得到OB∥AC；
（2）根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得∠EOF=$\frac{1}{2}$∠BOF，∠FOC=$\frac{1}{2}$∠FOA，進(jìn)而得到∠EOC=$\frac{1}{2}$（∠BOF+∠FOA）=$\frac{1}{2}$∠BOA=40°；
（3）①由BC∥OA可得∠FCO=∠COA，進(jìn)而得到∠FOC=∠FCO，故∠OFB=∠FOC+∠FCO=2∠OCB，進(jìn)而得到∠OCB：∠OFB=1：2；
②由（1）知：OB∥AC，BC∥OA，得到∠OCA=∠BOC，∠OEB=∠EOA，根據(jù)（1）、（2）的結(jié)果求得．

解答 解：（1）∠O=72°，
∵BC∥OA，
∴∠B+∠O=180°，
∵∠A=∠B
∴∠A+∠O=180°，
∴OB∥AC；
（2）∵∠A=∠B=108°，由（1）得∠BOA=180°-∠B=72°，
∵∠FOC=∠AOC，并且OE平分∠BOF，
∴∠EOF=$\frac{1}{2}$∠BOF，∠FOC=$\frac{1}{2}$∠FOA，
∴∠EOC=∠EOF+∠FOC=$\frac{1}{2}$（∠BOF+∠FOA）=$\frac{1}{2}$∠BOA=36°；

（3）①∵BC∥OA，
∴∠FCO=∠COA，
又∵∠FOC=∠AOC，
∴∠FOC=∠FCO，
∴∠OFB=∠FOC+∠FCO=2∠OCB，
∴∠OCB：∠OFB=1：2；
②由（1）知：OB∥AC，∴∠OCA=∠BOC，
由（2）可以設(shè)：∠BOE=∠EOF=α，∠FOC=∠COA=β，
∴∠OCA=∠BOC=2α+β
由（1）知：BC∥OA，
∴∠OEB=∠EOA=α+β+β=α+2β
∵∠OEB=∠OCA
∴2α+β=α+2β
∴α=β
∵∠AOB=72°，
∴α=β=18°
∴∠OCA=2α+β=36°+18°=54°．

點(diǎn)評(píng) 此題主要考查了平行線的判定與性質(zhì)，以及角平分線的性質(zhì)，關(guān)鍵是掌握平行線的判定是由角的數(shù)量關(guān)系判斷兩直線的位置關(guān)系．平行線的性質(zhì)是由平行關(guān)系來尋找角的數(shù)量關(guān)系．