Question

19．如圖，已知△ABC三個頂點的坐標(biāo)分別為A（1，4），B（4，1），C（1，1），若雙曲線y=$\frac{k}{x}$（x＞0）與△ABC有公共點，則k的取值范圍是1≤k≤$\frac{25}{4}$．

Answer 1

分析 結(jié)合圖形可知當(dāng)雙曲線過C點時k有最小值，當(dāng)直線AB與與雙曲線只有一個交點時k有最大值，從而可求得k的取值范圍．

解答 解：
若雙曲線與△ABC有公共點，則雙曲線向下最多到點C，向上最多到與直線AB只有一個交點，

當(dāng)過點C時，把C點坐標(biāo)代入雙曲線解析式可得1=$\frac{k}{1}$，解得k=1；
當(dāng)雙曲線與直線AB只有一個交點時，設(shè)直線AB解析式為y=ax+b，
∵A（1，4），B（4，1），
∴把A、B兩點坐標(biāo)代入可得$\left\{\begin{array}{l}{4=a+b}\\{1=4a+b}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{b=5}\end{array}\right.$，
∴直線AB的解析式為y=-x+5，
聯(lián)立直線AB和雙曲線解析式可是$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{k}{x}}\\{y=-x+5}\end{array}\right.$，消去y整理可得x²-5x+k=0，
則該方程有兩個相等的實數(shù)根，
∴△=0，即（-5）²-4k=0，解得k=$\frac{25}{4}$，
∴k的取值范圍為：1≤k≤$\frac{25}{4}$．

點評 本題主要考查一次函數(shù)和反比例函數(shù)的交點問題，確定出雙曲線的兩個端點位置是解題的關(guān)鍵．