Question

11．閱讀材料：小聰在學(xué)習(xí)二次根式后，發(fā)現(xiàn)含根號的式子3+2$\sqrt{2}$可以寫成另一個式子$\sqrt{2}$+1的平方，即3+2$\sqrt{2}$=（$\sqrt{2}$+1）²．
于是，愛動腦筋的小聰又提出了一個問題：7+4$\sqrt{3}$是否也能寫成另一個式子的平方呢？經(jīng)過探索，他聯(lián)想到老師講的方程思想，找到了一種把7+4$\sqrt{3}$化成平方式的方法：
設(shè)7+4$\sqrt{3}$=（$\sqrt{m}$+$\sqrt{n}$）²（m≥n＞0），則7+4$\sqrt{3}$=m+n+2$\sqrt{mn}$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{m+n=7}\\{2\sqrt{mn}=4\sqrt{3}}\end{array}\right.$．
整理得 $\left\{\begin{array}{l}{m+n=7}\\{mn=12}\end{array}\right.$．
∴m、n可看作一元二次方程x²-7x+12=0的兩根．
解方程，得 x₁=4，x₂=3．
于是有$\left\{\begin{array}{l}{m=4}\\{n=3}\end{array}\right.$．
∴7+4$\sqrt{3}$=（$\sqrt{4}$+$\sqrt{3}$）²=（2+$\sqrt{3}$）²
參考上述方法，解決下列問題：
（1）化簡下列根式并把答案直接填在答題卡上相應(yīng)橫線上：
$\sqrt{8+4\sqrt{3}}$=$\sqrt{2}$+$\sqrt{6}$，$\sqrt{7-\sqrt{40}}$=$\sqrt{5}$-$\sqrt{2}$，$\sqrt{9-4\sqrt{5}}$-$\sqrt{6+2\sqrt{5}}$=-3；
（2）化簡：①$\sqrt{4-\sqrt{15}}$，②$\sqrt{7-\sqrt{21+\sqrt{80}}}$；
（3）化簡$\sqrt{4-\sqrt{10+2\sqrt{5}}}$+$\sqrt{4+\sqrt{10+2\sqrt{5}}}$．

Answer 1

分析 （1）類比題中方法列方程組、構(gòu)建一元二次方程分別求解可得；
（2）借助完全平方公式進(jìn)而開平方求出即可；
（3）把要求的代數(shù)式設(shè)為x，然后利用完全平方公式進(jìn)行計(jì)算，用直接開平方法可以求出x的值，根據(jù)二次根式的性質(zhì)得到x≥0，確定x的值．也就求出了代數(shù)式的值．

解答 解：（1）設(shè)8+4$\sqrt{3}$=（$\sqrt{m}$+$\sqrt{n}$）²（m≥n＞0），則8+4$\sqrt{3}$=m+n+2$\sqrt{mn}$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{m+n=8}\\{2\sqrt{mn}=4\sqrt{3}}\end{array}\right.$
整理得$\left\{\begin{array}{l}{m+n=8}\\{mn=12}\end{array}\right.$，
∴m、n可看作一元二次方程x²-8x+12=0的兩根．
解方程，得 x₁=2，x₂=6．
于是有$\left\{\begin{array}{l}{m=2}\\{n=6}\end{array}\right.$
∴8+4$\sqrt{3}$=（$\sqrt{2}$+$\sqrt{6}$）²，
即$\sqrt{8+4\sqrt{3}}$=$\sqrt{2}$+$\sqrt{6}$；
設(shè)7-$\sqrt{40}$=（$\sqrt{m}$-$\sqrt{n}$）²（m≥n＞0），則7-$\sqrt{40}$=m+n-2$\sqrt{mn}$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{m+n=7}\\{2\sqrt{mn}=\sqrt{40}}\end{array}\right.$，
整理得$\left\{\begin{array}{l}{m+n=7}\\{mn=10}\end{array}\right.$，
∴m、n可看作一元二次方程x²-7x+10=0的兩根．
解方程，得 x₁=2，x₂=5，
于是有$\left\{\begin{array}{l}{m=2}\\{n=5}\end{array}\right.$，
∴7-$\sqrt{40}$=（$\sqrt{2}$-$\sqrt{5}$）²，
即$\sqrt{7-\sqrt{40}}$=$\sqrt{5}$-$\sqrt{2}$，
$\sqrt{9-4\sqrt{5}}$-$\sqrt{6+2\sqrt{5}}$=|2-$\sqrt{5}$|-||$\sqrt{5}$+1|=$\sqrt{5}$-2-$\sqrt{5}$-1=-3；
故答案為：$\sqrt{2}+\sqrt{6}$，$\sqrt{5}$-$\sqrt{2}$，-3；

（2）①$\sqrt{4-\sqrt{15}}$=$\sqrt{\frac{16-4\sqrt{15}}{4}}$=$\frac{\sqrt{（\sqrt{10}-\sqrt{6}）^{2}}}{2}$=$\frac{\sqrt{10}-\sqrt{6}}{2}$；
②$\sqrt{7-\sqrt{21+\sqrt{80}}}$=$\sqrt{7-（\sqrt{20}+1）}$=|$\sqrt{5}$-1|=$\sqrt{5}$-1；

（3）設(shè)原式=x，
則x²=（4-$\sqrt{10+2\sqrt{5}}$）+（4+$\sqrt{10+2\sqrt{5}}$）+2$\sqrt{（4-\sqrt{10+2\sqrt{5}}）（4+\sqrt{10-2\sqrt{5}}）}$，
=8+2$\sqrt{6-2\sqrt{5}}$，
=8+2$\sqrt{（\sqrt{5}-1）^{2}}$，
=8+2（$\sqrt{5}$-1），
=6+2$\sqrt{5}$，
=（$\sqrt{5}$+1）²．
根據(jù)二次根式的性質(zhì)x≥0，
∴x=$\sqrt{5}$+1．
∴原式=$\sqrt{5}$+1．

點(diǎn)評 本題考查的是二次根式的化簡求值，弄懂題意，熟練掌握二次根式的性質(zhì)、完全平方公式、解方程組、一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．