Question

2．已知，如圖，在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)E，F(xiàn)都是從原點(diǎn)O出發(fā)，點(diǎn)E以1個單位/秒的速度沿x軸正方向運(yùn)動，點(diǎn)F以2個單位/秒的速度沿y軸正方向運(yùn)動．點(diǎn)B的坐標(biāo)為B（4，2），以BE為直徑的⊙O₁與x軸的另一個交點(diǎn)為A．設(shè)點(diǎn)E的運(yùn)動時間為t秒．
（1）如圖1，若點(diǎn)E，F(xiàn)同時出發(fā)，線段EF與線段OB相交于點(diǎn)G，問點(diǎn)G是否在⊙O₁上？請你作出判斷，并說明理由；
（2）如圖1，若點(diǎn)E，F(xiàn)同時出發(fā)，連結(jié)FB，當(dāng)t為何值時，F(xiàn)B與⊙O₁相切？
（3）如圖2，若點(diǎn)E運(yùn)動2秒后，點(diǎn)F再出發(fā)．當(dāng)2＜t＜4時，連結(jié)AF交⊙O₁于點(diǎn)P，試問AP•AF的值是否會發(fā)生變化？若不變，請說明理由并求其值；若變化，請求其值的變化范圍．

Answer 1

分析 （1）要判斷點(diǎn)G與⊙O₁的位置關(guān)系，只需比較O₁G與⊙O₁的半徑O₁B的大�。�設(shè)點(diǎn)E出發(fā)t秒，則E（t，0），F(xiàn)（0，2t），用待定系數(shù)法求出直線EF和直線OB的解析式，確定點(diǎn)G的坐標(biāo)，用兩點(diǎn)間的距離公式計(jì)算出O₁G與O₁B的大小，從而進(jìn)行判定；
（2）如果t秒時FB與⊙O₁相切，那么∠FBE=90°；在RT△BEF與RT△OEF中，根據(jù)EF不變列出方程，求出t的值；
（3）設(shè)點(diǎn)F出發(fā)t秒，則E（t+2，0），F(xiàn)（0，2t）；設(shè)P（x，y），由tan∠FAO=y：（4-x）=2t：4，得出x=4-$\frac{2}{t}$y，即P（4-$\frac{2}{t}y$，y）；因?yàn)锽E為直徑，所以∠BPE=90°，PE²+BP²=BE²，得出y與t的關(guān)系，可以含t的代數(shù)式得出P的坐標(biāo)，分別計(jì)算AP，AF的長，根據(jù)結(jié)果判斷．

解答 解：（1）連接O₁G，
設(shè)點(diǎn)E出發(fā)t秒，則E（t，0），F(xiàn)（0，2t），
設(shè)直線EF的方程為y=kx+b，則$\left\{\begin{array}{l}{kt+b=0}\\{b=2t}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-2}\\{b=2t}\end{array}\right.$，
∴y=-2x+2t，
∴直線OB的方程為y=$\frac{1}{2}$x；
∵解方程組$\left\{\begin{array}{l}{y=-2x+2t}\\{y=\frac{1}{2}x}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{4}{5}t}\\{y=\frac{2}{5}t}\end{array}\right.$，
∴G（$\frac{4}{5}$t，$\frac{2}{5}$t）；
∵O₁是BE的中點(diǎn)，
∴O₁（$\frac{4+t}{2}$，1），
∴O₁G²=（$\frac{4+t}{2}$-$\frac{4}{5}$t）²+（1-$\frac{2}{5}$t）²=$\frac{1}{4}$t²-2t+5，O₁B²=（4-$\frac{4+t}{2}$）²+1²=$\frac{1}{4}$t²-2t+5，
∴O₁G=O₁B，點(diǎn)G在⊙O₁上；

（2）設(shè)t秒時FB與⊙O₁相切，那么E（t，0），F(xiàn)（0，2t），∠FBE=90°，
∵EF²=BE²+BF²，EF²=OE²+OF²，
∴（4-t）²+2²+4²+（2-2t）²=t²+（2t）²，
解得t=2.5；

（3）設(shè)點(diǎn)F出發(fā)t秒，則E（t+2，0），F(xiàn)（0，2t），
設(shè)P（x，y），
∵tan∠FAO=y：（4-x）=2t：4，
∴x=4-$\frac{2}{t}$y，
∴P（4-$\frac{2}{t}$y，y），
∵BE為直徑，
∴∠BPE=90°，
∵PE²+BP²=BE²，
∴利用兩點(diǎn)間的距離公式把B、P、E、F各點(diǎn)的坐標(biāo)代入得，
∴y=$\frac{4t}{{t}^{2}+4}$，
∴x=$\frac{{4t}^{2}+8}{{t}^{2}+4}$，
即P（$\frac{{4t}^{2}+8}{{t}^{2}+4}$，$\frac{4t}{{t}^{2}+4}$），
∴AP²=（4-$\frac{{4t}^{2}+8}{{t}^{2}+4}$）²+（$\frac{4t}{{t}^{2}+4}$）²，
∴AP=$\frac{4}{{t}^{2}+4}$×$\sqrt{{t}^{2}+4}$，AF=$\sqrt{16+{4t}^{2}}$=2$\sqrt{{t}^{2}+4}$，
∴AP•AF=8，是不會發(fā)生變化的．

點(diǎn)評 本題綜合考查了切線的判定，三角函數(shù)等知識，善于抓住不變量，找到等量關(guān)系是解答此題的關(guān)鍵．