Question

15．某公園對一個邊長為a（a＞1）的正方形花壇進行改造，由于占地需要，正方形花壇南北方向需要縮短1米，使其形狀成為長方形．為了使花壇中的綠植面積不變，公園決定將花壇向東側(cè)擴展，使得到的長方形面積和原來正方形的面積相等．
（1）小明說：這太簡單了，把正方形南北方向減少1米，在花壇東側(cè)增加1米就行了．這樣得到的長方形的周長和面積與原來正方形的周長和面積都相等．你認為小明說的對嗎？請你說明理由．
（2）如果原來正方形的花壇邊長是5米，在只保證面積不變的情況下，請你計算出改造后，向東擴展了多少米？
（3）如果正方形的花壇邊長是a米，在只保證面積不變的情況下，請你用代數(shù)式表示出改造后長方形的長．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)正方形和長方形的周長公式及面積公式分別進行計算，然后比較即可得出答案；
（2）設(shè)向東延長了x米，根據(jù)長方形的面積公式列出方程，求解即可得出答案；
（3）根據(jù)正方形的面積公式和邊長之間的關(guān)系，即可得出答案．

解答 解：（1）小明的說法不對．
∵正方形的周長：4a，
∴正方形的面積：a²，
長方形的周長：2（a-1）+2（a+1）=4a，
長方形的面積：（a-1）（a+1）=a²-1，
∴周長相等，面積縮小了．

（2）設(shè)向東延長了x米，
（5-1）（5+x）=25，
x=1.25米，
則向東延長了1.25米．

（3）∵正方形的花壇邊長是a米，南北方向需要縮短1米，
∴改造后長方形的長是$\frac{{a}^{2}}{a-1}$．

點評 此題考查了列代數(shù)式，用到的知識點是長方形的面積公式、正方形的面積公式以及周長公式，根據(jù)題意分別求出改造后長方形的長、寬，列出面積的表達式是本題的關(guān)鍵．