Question

15．如圖，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，四邊形OABC為長方形，邊OA和OC分別落在x軸和y軸的正半軸上，且A（10，0），C（0，4），點(diǎn)D是OA的中點(diǎn)，點(diǎn)P在線段BC上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)△ODP為腰長為5的等腰三角形時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 題中沒有指明△ODP的腰長與底分別是哪個(gè)邊，故應(yīng)該分別從OD、OP與PD是底邊去分析求解，從而求得點(diǎn)P的坐標(biāo)．

解答 解：∵A（10，0），C（0，4），
∴OC=4，OA=10，
∵點(diǎn)D是OA的中點(diǎn)，
∴OD=5，
（1）OD是等腰三角形的底邊時(shí)，P就是OD的垂直平分線與CB的交點(diǎn)，此時(shí)OP=PD≠5；
（2）OD是等腰三角形的一條腰時(shí)：
①若點(diǎn)O是頂角頂點(diǎn)時(shí)，P點(diǎn)就是以點(diǎn)O為圓心，以5為半徑的弧與CB的交點(diǎn)，
在直角△OPC中，CP=$\sqrt{O{P}^{2}-O{C}^{2}}$=$\sqrt{{5}^{2}-{4}^{2}}$=3，則P的坐標(biāo)是（3，4）．
②若D是頂角頂點(diǎn)時(shí)，P點(diǎn)就是以點(diǎn)D為圓心，以5為半徑的弧與CB的交點(diǎn)，
過D作DM⊥BC于點(diǎn)M，
在直角△PDM中，PM=$\sqrt{P{D}^{2}-D{M}^{2}}$=3，
當(dāng)P在M的左邊時(shí)，CP=5-3=2，則P的坐標(biāo)是（2，4）；
當(dāng)P在M的右側(cè)時(shí)，CP=5+3=8，則P的坐標(biāo)是（8，4）．
故P的坐標(biāo)為：（3，4）或（2，4）或（8，4）．

點(diǎn)評 此題主要考查等腰三角形的性質(zhì)及勾股定理的運(yùn)用．注意正確地進(jìn)行分類，考慮到所有的可能情況是解題的關(guān)鍵．