Question

12．如圖，相距40km的兩個(gè)城鎮(zhèn)A，B之間有一個(gè)圓形湖泊，它的圓心落在AB連線的中點(diǎn)O，半徑為10km．現(xiàn)要修建一條連接兩城鎮(zhèn)的公路．經(jīng)過(guò)論證，認(rèn)為AA′+$\widehat{A′B′}$+BB′為最短路線（其中AA′，BB′都與⊙O相切）．
（1）你能計(jì)算出這段公路的長(zhǎng)度嗎？（結(jié)果精確到0.1km） 
（2）陰影部分的面積是多少？（結(jié)果精確到1km²）

Answer 1

分析 （1）連結(jié)OA′、OB′，如圖，根據(jù)切線的性質(zhì)得OA′⊥AA′，OB′⊥BB′，再計(jì)算出OA=OB=$\frac{1}{2}$AB=20，在Rt△OAA′中，利用正弦的定義可求出∠A=30°，則∠AOA′=60°，AA′=$\sqrt{3}$OA′=10$\sqrt{3}$，同理可得∠BOB′=60°，BB′=10$\sqrt{3}$，于是∠A′OB′=60°，接著根據(jù)弧長(zhǎng)公式計(jì)算出弧A′B′的長(zhǎng)度，然后求AA′+$\widehat{A′B′}$+BB′的值即可；
（2）用△AA′O與△BB′O的面積減去扇形A′OC和扇形B′OD的面積即可．

解答 解：（1）連結(jié)OA′、OB′，如圖，
∵AA′，BB′都與⊙O相切，
∴OA′⊥AA′，OB′⊥BB′，
∵點(diǎn)O為AB的中點(diǎn)，
∴OA=OB=$\frac{1}{2}$AB=20，
而OA′=OB′=10，
在Rt△OAA′中，∵sin∠A=$\frac{OA′}{OA}$=$\frac{10}{20}$=$\frac{1}{2}$，
∴∠A=30°，
∴∠AOA′=60°，AA′=$\sqrt{3}$OA′=10$\sqrt{3}$，
同理可得∠BOB′=60°，BB′=10$\sqrt{3}$，
∴∠A′OB′=60°，
∴弧A′B′的長(zhǎng)度=$\frac{60•π•10}{180}$=$\frac{10}{3}$π，
∴這段公路的長(zhǎng)度=10$\sqrt{3}$+$\frac{10}{3}$π+10$\sqrt{3}$≈45.1（km）；

（2）S_△AA′O=$\frac{1}{2}AA′•AO$•sin∠A=$\frac{1}{2}$×10$\sqrt{3}$×20×$\frac{1}{2}$=50$\sqrt{3}$，
S_△B′OB=S_△AA′O=50$\sqrt{3}$，
S_扇形A′OC=$\frac{n{πr}^{2}}{360°}$=$\frac{60°π{•10}^{2}}{360°}$=$\frac{50}{3}π$，同理可得，S_扇形B′OB=$\frac{50}{3}π$，
所以S_陰影=S_△AA′O+S_△B′OB-S_扇形A′OC -S_扇形B′OB=2×50$\sqrt{3}$-2×$\frac{50}{3}π$=100$\sqrt{3}$$-\frac{100}{3}$π=69（km²）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了切線的性質(zhì)：圓的切線垂直于經(jīng)過(guò)切點(diǎn)的半徑．運(yùn)用切線的性質(zhì)來(lái)進(jìn)行計(jì)算或論證，常通過(guò)作輔助線連接圓心和切點(diǎn)，利用垂直構(gòu)造直角三角形解決有關(guān)問(wèn)題．也考查了弧長(zhǎng)公式，扇形的面積公式，作出適當(dāng)?shù)妮o助線是解答此題的關(guān)鍵．