Question

1．若分別以△ABC的AC、BC兩邊為邊向外側(cè)作正方形ACDE和正方形BCFG，則稱這兩個(gè)正方形為外展雙葉正方形．
（1）發(fā)現(xiàn)：如圖1，當(dāng)∠C=90°時(shí)，△ABC與△DCF的面積相等．（請?jiān)跈M線上填寫“相等”或“不等”）
（2）引申：如果∠C≠90°時(shí)，（1）中結(jié)論還成立嗎？若成立，請結(jié)合圖1給出證明；若不成立，請說明理由；
（3）運(yùn)用：如圖3，分別以△ABC的三邊為邊向外側(cè)作的正方形ACDE、BCFG和ABMN，則稱這三個(gè)正方形為外展三葉正方形．已知△ABC中，AC=4，BC=5．運(yùn)用（2）中的結(jié)論，當(dāng)∠ACB為何值時(shí)，圖中陰影部分的面積和有最大值是？并求出最大值．

（4）拓展：如圖4，分別以?ABCD的四條邊為邊向外側(cè)作正方形ABFE，BCHG，CDJI，DALK，若?ABCD的周長為20，∠DAB=60°，運(yùn)用（2）的結(jié)論，圖中陰影部分的面積和有最大值？如果有，請求出最大值，如果沒有，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）由正方形的性質(zhì)可以得出AC=DC，BC=FC，∠ACB=∠DCF=90°，即可得出△ABC≌△DFC而得出結(jié)論；
（2）如圖3，過點(diǎn)A作AP⊥BC于點(diǎn)P，過點(diǎn)D作DQ⊥FC交FC的延長線于點(diǎn)Q，通過證明△APC≌△DQC就有DQ=AP而得出結(jié)論；
（3）根據(jù)（1）可以得出S=3S_△ABC，要使S最大，就要使S_△ABC最大，當(dāng)∠ACB=90°時(shí)S_△ABC最大，即可求出結(jié)論，
（4）同（3）的方法即可得出結(jié)論．

解答 （1）證明：在△ABC與△DFC中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{AC=DC}\\{∠ACB=∠DCF}\\{BC=FC}\end{array}\right.$，
∴△ABC≌△DFC．
∴△ABC與△DFC的面積相等；
故答案為：相等；

（2）解：成立．理由如下：
如圖，延長BC到點(diǎn)P，過點(diǎn)A作AP⊥BP于點(diǎn)P；過點(diǎn)D作DQ⊥FC于點(diǎn)Q．
∴∠APC=∠DQC=90°．
∵四邊形ACDE，BCFG均為正方形，
∴AC=CD，BC=CF，∠ACP+∠PCD=90°，∠DCQ+∠PCD=90°，
∴∠ACP=∠DCQ．
∴$\left\{\begin{array}{l}{∠APC=∠DQC}\\{∠ACP=∠DCQ}\\{AC=CD}\end{array}\right.$，
△APC≌△DQC（AAS），
∴AP=DQ．
又∵S_△ABC=$\frac{1}{2}$BC•AP，S_△DFC=$\frac{1}{2}$FC•DQ，
∴S_△ABC=S_△DFC；    
     
（3）解：根據(jù)（2）得圖中陰影部分的面積和是△ABC的面積三倍，
若圖中陰影部分的面積和有最大值，則三角形ABC的面積最大，
∴當(dāng)△ABC是直角三角形，即∠C是90度時(shí)，陰影部分的面積和最大．
∴S_{陰影部分面積和}=3S_△ABC=3×$\frac{1}{2}$×4×5=30．

（4）解：過D作DN⊥AB于N，過E作EM⊥FA交FA延長線于M，連接AC，BD，
∵四邊形ABGF和四邊形ADLE是正方形，
∴AE=AD，AF=AB，∠FAB=∠EAD=90°，
∴∠EAF+∠BAD=360°-90°-90°=180°，
∵∠EAF+∠EAM=180°，
∴∠EAM=∠DAN，
∴sin∠EAM=$\frac{EM}{AE}$，sin∠DAN=$\frac{DN}{AD}$，
∵AE=AD，
∴EM=DN，
∵S_△AEF=$\frac{1}{2}$AF×EM，S_△ADB=$\frac{1}{2}$AB×DN，
∴S_△AEF=S_△ABD，
同理S_△BHG=S_△ABC，S_△CIJ=S_△CBD，S_△DLK=S_△DAC，
∴陰影部分的面積S=S_△AEF+S_△BGH+S_△CIJ+S_△DLK=2S_{平行四邊形ABCD}，
∵?ABCD的周長為20，∠DAB=60°，
設(shè)AD=x，則AB=10-x，
∴DN=ADsin∠BAD=x×sin60°=$\frac{\sqrt{3}}{2}$x，
∴S_{平行四邊形ABCD}=AB×DN=（10-x）×$\frac{\sqrt{3}}{2}$x=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$（x-5）²+$\frac{25\sqrt{3}}{2}$（0＜x＜10），
∴陰影部分的面積S=2S_{平行四邊形ABCD}=2[-$\frac{\sqrt{3}}{2}$（x-5）²+$\frac{25\sqrt{3}}{2}$]=-$\sqrt{3}$（x-5）²+25$\sqrt{3}$（0＜x＜10），
當(dāng)x=5，即：AD=AB=5時(shí)，陰影部分的面積S_最大=25$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評 本題是四邊形綜合題，主要考查了正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定及性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)、三角形的面積公式，平行四邊形的性質(zhì)，本題難度較大，綜合性強(qiáng)，證明三角形全等是解決問題的關(guān)鍵．